Autor Tema: Calcular R/r

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24 Junio, 2013, 09:37 am
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Michel

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Sean c y c’ circunferencias tangentes interiores de centros O y O’ y radios R y r (R>r).
La perpendicular por O’ a la recta OO’ corta a c en P y Q.
Sea M un punto de la recta OO’ y en el interior de c tal que MP y MQ son tangentes a c’. Sabiendo que el ángulo PMQ vale 90º, calcular R/r.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

25 Julio, 2013, 05:19 pm
Respuesta #1

Michel

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Por ser isósceles el triángulo rectángulo PCO’, \( PO'=CO'\sqrt[ ]{2}=r\sqrt[ ]{2} \)

En el triángulo rectángulo APB, por el teorema de la altura:

 \( PO'^2=BO'.O'A|,\Rightarrow{2r^2=BO'.r}\,\Rightarrow{BO'=2r} \)

Por otra parte,

\( 2R=BA=BO'+O'A=3r \)

Por tanto:  \( \displaystyle\frac{R}{r}=\displaystyle\frac{3}{2} \)
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker