Autor Tema: Consulta sobre la medida del producto cartesiano

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20 Junio, 2013, 11:59 pm
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aeonxxx

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Hola, que tal? Quería ver si me podían ayudar con el siguiente ejercicio:

Llamando m a la medida exterior de Lebegue, quiero probar que:

m(\( A\times{B} \))=m(A)m(B) para todo par de conjuntos \( A \subseteq{R^n} \) y \(  B \subseteq{R^m} \)

Me salio la desigualdad \( \leq{} \) y para ver \( \geq{} \), hice lo siguiente:

m(\( A\times{B} \)) \( \geq{m(A*\times{B*}}) \) - \( \epsilon \) para un \( \epsilon \) dado, con A*\( \times{B*} \) un abierto que contiene a AxB (editado)

Entonces, A* y B* son abiertos con \( A\subseteq{A*} \) y \( B\subseteq{B*} \).

Aquí uso que productos de medibles es medible (lo probé con el Principio de Cavalieri) y la montonía de la medida de Lebesgue. Así, como \( \epsilon \) es arbitrario, se tiene lo pedido.

Está bien? Me hace un poco de ruido tomar que cualquier abierto que cubre a \( A\times{B} \) sea de la pinta \( A*\times{B*} \)