Autor Tema: CI es la bisectriz

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16 Junio, 2013, 09:08 am
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Michel

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Sea ABC un triángulo equilátero.
M es el punto medio del segmento AB y N el punto medio del segmento BC.
Sea P el punto exterior a ABC tal que el triángulo ACP es isósceles y rectángulo en P.
PM y AN se cortan en I.
Probar que CI es la bisectriz del ángulo MCA.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

24 Junio, 2013, 09:05 am
Respuesta #1

Michel

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El cuadrilátero AMCP es inscriptible por ser rectos los ángulos en M y en P.

Los ángulos MCA y MPA son iguales por ser inscritos y abarcar el mismo arco AM; como el primero vale 30º, el otro también valdrá 30º.

El ángulo MAP vale 60º+45º=105º, por lo que el ángulo AMP valdrá 180º-105º-45º=30º.
Entonces MP es bisectriz del ángulo AMC.

Como AN es bisectriz del ángulo BAC, resulta que I es el incentro del triángulo AMC; por tanto, CI es bisectriz del ángulo MCA.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker