Autor Tema: Problema de longitudes de un triángulo rectángulo.

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17 Junio, 2007, 03:36 am
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Garabato

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Hola

Ayuda por favor con este problema:

Si las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo son, en orden creciente, a, b y c. Demuestre que \( a^3 + b^3 < c^3 \).

Intenté con el teorema de Pitágoras, y con el que dice que en un triángulo la suma de dos lados es mayor que el otro lado, pero no llegué a una buena demostración...y me quedé sin ideas  ???.

Gracias   

17 Junio, 2007, 03:58 am
Respuesta #1

Alex123

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Como es rectángulo por Pitágoras tenemos: \( a^2+b^2=c^2 \)

Entonces: \( a^2=(c+b)(c-b)\Rightarrow{\displaystyle\frac{a^2}{(c+b)}=(c-b)} \)

Si se cumpliese la desigualdad pedida, se debería cumplir que (y recíprocamente):\( a^3<c^3-b^3=(c-b)(c^2+cb+b^2) \)

Sustituyendo por el valor que obtuvimos por Pitágoras:\( a^3<\left(\displaystyle\frac{a^2}{(c+b)}\right)(c^2+cb+b^2) \)

Hay que probar que:\( a<\displaystyle\frac{c^2+cb+b^2}{(c+b)} \)

\( (c+b)^2-cb=c^2+cb+b^2 \)

\( a<\displaystyle\frac{(c+b)^2-cb}{(c+b)}=(c+b)-\displaystyle\frac{cb}{c+b} \)

transformando un poco la expresión:
\( (c+b)-\displaystyle\frac{cb}{c+b}=c+\displaystyle\frac{-cb+cb+b^2}{c+b}=c+\displaystyle\frac{b^2}{c+b} \)

Y como c>a y \( \frac{b^2}{c+b}>0 \) se cumple la desigualdad

17 Junio, 2007, 12:34 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

 De manera directa, si \( a^2+b^2=c^2 \),

\(  a^3+b^3<a^2c+b^2c=(a^2+b^2)c=c^3 \)

Saludos.

17 Junio, 2007, 02:28 pm
Respuesta #3

Jabato

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Ó también:

\( c^3 = cc^2 = c(a^2 + b^2) = ca^2 + cb^2 > a^3 + cb^2 > a^3 + b^3 \)

por ser:

c > a              c > b

Saludos, Jabato.

18 Junio, 2007, 03:24 am
Respuesta #4

Garabato

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