Autor Tema: Ecuación diferencial mediante Diferencias Finitas.

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16 Mayo, 2013, 12:51 pm
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Hasclepio

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Hola

Tengo una duda muy básica; poseo la siguiente ecuación diferencial \( u''(x)+2u(x)=f(x) \) pero con \( f(x) \) definida a trozos: \( f(x)=\begin{Bmatrix} 0 & \mbox{ si }&0 \leq x \leq  \frac{1}{2}\\1 & \mbox{si}& \frac{1}{2} < x \leq  1\end{matrix} \) y condiciones \( u(0)=4 \) y \( u(1)=2 \) con \( h=\frac{1}{5} \). Me piden plantear el sistema algebraico equivalente mediante diferencias finitas. y lo que no sé es cómo incluir ahí la función a trozos  ??? Usando desarrollos de Taylor (centrados), expreso la derivada segunda en función de \( u(x-h) \), \( u(x)  \)y \( u(x+h) \):

Vamos, el sistema sería \( u_{i-1}+(2h^2-2)u_i+u_{i+1}=h^2f_i \)  pero ¿cómo "meto" aquí la función a trozos? Para \( i=0\Rightarrow u_0=1 \), \( i=5\Rightarrow u_5=2 \) y luego para los valores interiores el "soporte" \( i=1 \), \( i=2 \), \( i=3 \), \( i=4 \) no sé como hacerlo porque (por ejemplo) para \( i=3 \) estaría considerando  \( u_2 \) y \( u_3 \) a la vez y no puedo "separarlas" por intervalos de la \( x \)

*La notación es \( u_i=u(x_i) \) (igual con \( f_i \)) para el soporte (el intervalo expresado en nodos o puntos espaciados el paso) con paso \( h \) tal que \( \left\{0,\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5},1\right\} \)

Un saludo y muchas gracias