Autor Tema: Suma de los cuadrados

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15 Mayo, 2013, 10:25 am
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Michel

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Hallar la suma de los cuadrados de dos lados de un triángulo.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

23 Mayo, 2013, 05:03 pm
Respuesta #1

Michel

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En un problema anterior, Ángulo agudo y ángulo obtuso, se ha demostrado que el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo (obtuso) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos (más) el doble de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

Sea el triángulo ABC, CM=m la mediana y CH la altura desde el vértice C.

En el triángulo BMC, a es el lado opuesto a un ángulo obtuso: \( a^2=c^2/4+m^2+c.MH \)        (1)

En el triángulo MAC, b es el lado opuesto a un ángulo agudo: \( b^2=c^2/4+m^2-c.MH \)          (2)

Sumando: \( a^2+b^2=c^2/2+2m^2 \)
La suma de los cuadrados de dos lados de un triángulo es igual a la mitad del cuadrado del tercer lado, más el cuadrado de la mediana relativa a este lado.

Esta expresión nos permite calcular la mediana m:

\( m^2=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2a^2+2b^2-c^2}}{2} \)

Análogamente se hallan las otras dos medianas.

Si restamos las igualdades (1) y (2):  \( a^2-b^2=2c.MH \)
que nos da la diferencia de los cuadrados de dos lados de un triángulo.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker