Hola.
Necesito algo de ayuda con este problema. Es un tanto delicado, así que me sería muy valioso cualquier comentario:[
Probar que existen dos funciones \( f \) y \( g \) que verifican simultáneamente:
i) \( f,g :\mathbb{R}\to \mathbb{R} \).
ii) \( f(0)=1 \), \( g(\frac{\pi}{2})=1 \) y \( f(\pi)=-1 \).
iii) \( f(x-y)=g(x)g(y)+f(x)f(y) \).
iv) \( 0<f(x)<\frac{g(x)}{x}<\frac{1}{f(x)} \) para todo \( x\in (0,\frac{\pi}{2}) \).
Preguntas:
a) ¿Son \( f,g \) únicas?
b) ¿Son continuas?
c) ¿Son diferenciables?
Me interesa más que nada, por supuesto, probar que existen y que son únicas. (Es bastante obvio que \( f=\cos \) y \( g=\sen \) satisfacen todas las condiciones, pero es justamente que este problema procura dar una buena definición para las dos funciones trigonométricas).
Saludos.
