Autor Tema: Método integral

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11 Mayo, 2013, 08:56 pm
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Capitan Trueno

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Resolución de las integrales de la forma:


\( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dx}{Ax^2+Bx+C} \)


cuando el denominador tiene raíces imaginarias.

Sea:

      a).-  La abcisa del vértice del polígono del denominador:


\( x_o=\displaystyle\frac{-B}{2A} \)


      b).- El discriminante de dicho polígono:


\( \Delta=-k^2=B^2-4AC \)


La integral se resuelve fácilmente con dos cambios de variable consecutivos:

1º).- Una traslación horizontal que lleve el vértice de la parábola del denominador al eje Y:


\( t=x-x_o \)


transforma la integral en:


\( {{{\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dx}{Ax^2+Bx+C}=\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dt}{A(t+x_o)^2+B(t+x_o)+C}=\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dt}{At^2+Ax_o^2+Bx_o+C}=2\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{2Adt}{(2At)^2+k^2}}}} \)


2º).- Un segundo cambio, un cambio de escala, la normaliza y la hace inmediata:


\( 2At=ku \)


\( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dx}{Ax^2+Bx+C}=\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dt}{A(t+x_o)^2+B(t+x_o)+C}=2\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{2Adt}{(2At)^2+k^2}=\displaystyle\frac{2}{k}\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{du}{u^2+1} \)


Ambos cambios de variable pueden resumirse en uno solo:


\( x=x_o+\displaystyle\frac{ku}{2A} \)

Salu2