Autor Tema: integracion sobre variable compleja

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

19 Abril, 2013, 09:12 pm
Leído 1301 veces

alejandra

  • Aprendiz
  • Mensajes: 268
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Femenino
Sea \( X=[0,\infty) \) con la medida de Lebesgue. Supongamos z es un numero complejo tal que la parte real es positiva y consideramos la funcion dada por
\( f(t)=t^{z-1}exp(-t), t>0 \)

Probar que u,v son integrables siendo u,v la parte real e imaginaria de  respectivamente


Solucion: \( f(t)=t^{z-1}exp(-t)=exp(ln(t^{a-1})-t)(cos(ln(t^b))+i(sen(ln(t^b))) \)

\( u(t)=exp(ln(t^{a-1})-t)(cos(ln(t^b)) \)
\( v(t)=exp(ln(t^{a-1})-t)(sen(ln(t^b)) \)

como t es mayor estricto de 0 u,v son producto de funciones integrables! entonces son integrables...

Ahora bien en el ejercicio me dan una sugerencia: "tratar las integrales sobre [0,1] y \( [1,\infty) \) separadas"

Me podrían ayudar? muchas gracias!

20 Abril, 2013, 04:36 am
Respuesta #1

Héctor Manuel

  • Lathi
  • Mensajes: 3,631
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Cómo deduces que \( u \) y \( v \) son producto de funciones integrables? Eso no lo veo tan directo.

Te propongo otra forma: sea \( z=a+ib \), con \( a>0 \). Como, en la integral de Lebesgue, ser absolutamente integrable es equivalente a integrable, se tiene que \( \displaystyle\int_Xf(t)dt \) existe si y sólo si existe \( \displaystyle\int_X|f(t)|dt \). Calculemos \( |f(t)| \):

Entonces \( |t^{z-1}e^{-t}|=|t^{a-1}e^{-t}| |t^{ib}|=|t^{a-1}e^{-t}|=t^{a-1}e^{-t} \).

Luego, todo se reduce a comprobar que existe \( \displaystyle\int_Xt^{a-1}e^{-t}dt \) para \( a>0 \). Se trata entonces de verificar la existencia de la función Gamma: http://www.fernandorevilla.es/docencia-problemas/iv/38-funcion-gamma-de-euler (es una página de uno de los ilustres participantes del foro).

Saludos.