[EnRlquE]

Hola, quisiera que me ayuden a resolver este problema, supongo que no es muy difícil.

Sean \( H \) y \( K \) subgrupos de \( G \) tales que \( H\cap{K}\neq \{e\} \), si \( H\cap{K}\triangleleft K \) y \( H\cap{K}\triangleleft H \). Probar que \( H\cap{K}\triangleleft \langle H\cup{K} \rangle \) (\( \langle H\cup{K} \rangle \) es el grupo generado por la unión de \( H \) con \( G \)), y concluir que \( H\leq{N(H\cap{K})} \) y \( K\leq{N(H\cap{K})} \)

* Si \( A\subseteq{G} \), \( N(A)=\{g\in G\;:\;gAg^{-1}=A\} \)

Gracias de antemano.

[physlord]

Hola. Primero describe cada grupo:

\( H \cap K = \{l\ :\ l \in H,\ l\in K,\ klk^{-1} = l,\ \forall k \in K\} \)
pero también
\( H \cap K = \{l\ :\ l \in H,\ l\in K,\ hlh^{-1} = l,\ \forall h \in H\} \)
y finalmente
\( H \cup K = \{m\ :\ m\in H,\ {\rm o}\ m\in K\} \)

A partir de aquí es fácil ver que \( H \cap K \) es normal a \( H \cup K \). Solo hay que verificar que se cumple la definición.

La segunda parte se obtiene directamente de la primera. Como \( (H \cap K) \triangleleft H \)  todos los elementos de \( H \) satisfacen que \( hlh^{-1} = l,\ l\in (H \cap K),\ h \in H \), que es lo mismo que decir que \( h(H \cap K)h^{-1} = H \cap K  \)

Solo describe los "huecos" que dejé en la demostración. ¡Suerte!.

[EnRlquE]

Gracias por la ayuda physlord intentaré seguir tus indicaciones

[Luis Fuentes]

Hola

 No entiendo porque pones tantas condiciones para definir \( H\cap K \):

Hola. Primero describe cada grupo:

\( H \cap K = \{l\ :\ l \in H,\ l\in K,\ klk^{-1} = l,\ \forall k \in K\} \)
pero también
\( H \cap K = \{l\ :\ l \in H,\ l\in K,\ hlh^{-1} = l,\ \forall h \in H\} \)

 No sería simplemente:

\( H \cap K = \{l\ :\ l \in H,\ l\in K\} \)

 Que \( H\cap K \) sea normal en K significa que para cualquier k en K,

\(  k(H\cap K)=(H\cap K)k \)

 es decir

\(  klk^{-1}\in H\cap K  \) para cualquier \( l\in H\cap K \).

Saludos.

[physlord]

Tienes razón. He complicado las cosas más de lo debido. A partir de esa definición puedes ver la solución más fácilmente.