[EnRlquE]

Hola, estoy iniciando a estudiar grupos finitos y tengo problemas en demostrar los siguientes resultados.

(1) Si \( G \) es un grupo de de orden \( 2^{n}3\;(n\geq{2}) \), Muestre que \( G \) posee un subgrupo normal de orden \( 2^{n} \) o de orden \( 2^{n-1} \)

(2) Si \( |G|=p^{2}q \) con \( p,q \) primos, pruebe que \( G \) no es simple.

Muchas gracias de antemano.

[EnRlquE]

Hola, he logrado resolver el mi pregunta (1) y "casi" mi pregunta (2), para la solución de ésta última he dividido el problema en tres casos

(i) \( p=q \), (ii) \( p>q \) y (iii) \( p<q \)

Los casos (i) y (ii) ya los he resuelto, y para el caso (iii) me falta analizar si es posible que \( q=p+1 \), y en caso de ser posible ver que \( G \) no es simple.

Espero me ayuden y gracias de antemano.

[Luis Fuentes]

Hola

(iii) me falta analizar si es posible que q=p+1, y en caso de ser posible ver que  G no es simple

Como p y q son primos, eso sólo se da si p=2 y q=3. En otro caso p es impar y p+1 no puede ser primo.

Saludos.

[EnRlquE]

Muchas gracias, por ayudar, ya resolví el problema 

[physlord]

Una duda, ¿como resolviste el primero?

[EnRlquE]

Hola, lo que hice fue mas o menos esto:

- Debido al teorema de sylow, \( G \) tiene uno o tres 2-subgrupos de Sylow de orden \( 2^{n} \). Si hay uno sólo de estos, es facil ver que este subgrupo de sylow es normal.

- En caso de existir tres tres subgrupos de orden 16, si tomamos dos de ellos, digamos \( R \) y \( S \), se tiene que \( R\cap S \) debe ser de orden \( 2^{n-1} \)

Spoiler

esto debido a que el conjunto \( RS=\{rs/ r\in R \wedge s\in S\}\subseteq{G} \) y por tanto su número de elementos no sobrepasa al orden de \( G \)

Ademas si \( |R\cap{S}|=2^{k} \) se tienes que

\( \displaystyle \#(RS)=\frac{|R||S|}{|R\cap{S}|}=\frac{2^{n}2^{n}}{2^{k}}\leq{2^{n}3} \)

de dónde se deduce que \( k=n-1 \)

[cerrar]

Además como el índice de \( R\cap{S} \) es 2 tanto en \( R \) como en \( S \) es facil ver que \( R\cap{S} \) es normal en \( R \) y en \( S \), entonces el normalizador de \( R\cap{S} \) contiene a \( R \) y \( S \) (que son ¡diferentes!) y debe tener orden múltiplo de \( 2^{n} \) y divisor de \( 2^{n}3 \) luego el normalizador de \( R\cap{S} \) coicide con \( G \) y por tanto \( R\cap{S} \) es normal en \( G \).

Saludos.

[physlord]

Muchas gracias por dedicar algo de tiempo a mi curiosidad.