[Snake_fury]

Sean X,Y espacios normados, y sea \( T:X\longrightarrow{Y} \) una transfomación lineal. Demostrar que a implica b:

a) Si \( A \subset{X} \) es acotado entonces \( T(A)\subset{Y} \) es acotada.

b) Si \( x_n \rightarrow{0} \) en X entonces \( T(x_n) \rightarrow{0} \) en Y.

[Hernán_BsAs]

Si \(  \left\|{T(x)}\right\|\leq{k } \), \(  \forall{ \left\|{x}\right\|\leq{1}} \) (estoy usando como A la bola de radio 1). Entonces \(  \left\|{T(x)}\right\|= \left\|{T( \left\|{x}\right\|\displaystyle\frac{x}{ \left\|{x}\right\|}})\right\|= \left\|{x}\right\| \left\|{T(\displaystyle\frac{x}{ \left\|{x}\right\|})}\right\|\leq{ \left\|{x}\right\|}k \), \(  \forall{x}\in{X} \). De acá, es inmediato el resultado.