Autor Tema: Sobre puntos de acumulación de un conjunto en la esfera.

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12 Abril, 2013, 02:42 am
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lindtaylor

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Una consulta, cómo puedo calcular los puntos de acumulación de \( A=\left\{(\cos(n),\sin(n)):n\in\mathbb{N}\right\} \) en \( S^1 \)? Lo primero que veo es pasar los puntos de \( S^1 \) a forma paramétrica o compleja, es decir, cualquier punto de S^1 representarlo como \( (x,y)=\cos(t)+i\sin(t) \)...

Puedo usar el hecho de que \( \left\{\sin(n),n\in\mathbb{N}\right\} \) y \( \left\{\cos(n),n\in\mathbb{N}\right\}  \) son densos en \( [-1,1] \), luego dado un punto de la esfera visto como \( (\cos(t),\sin(t)) \), entonces \( -1\leq \cos(t),\sin(t)\leq 1 \), luego para todo epsilon existen un naturales \( n,m \) tal que \( |\sin(n)-\sin(t)|<\epsilon \) y \( |\cos(m)-\cos(t)|<\epsilon \), (acá lo ideal sería que \( m=n \), para luego con la norma de la suma, decir que \( ||(\cos(t),\sin(t))-(\cos(n),\sin(n))||<\epsilon \))

Es correcto?
....