Autor Tema: Integrabilidad

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06 Junio, 2007, 05:32 pm
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yo___

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Hola, me gustaría que me dieran una pista sobre cómo resolver la no integrabilidad de la siguiente función

\( f(x)=\left\{\begin{matrix} x & \mbox{ si }& x\in[0,1]\cap\mathbb{Q}\\x^2 & \mbox{si}& x\in [0,1]\setminus\mathbb{Q}\end{matrix} \right \)

He intentado hacer las sumas inferiores y superiores pero varían según la partición. Gracias

06 Junio, 2007, 06:38 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 ¿Integrabilidad en que intervalo?.

 Sea como sea dibuja las funciones g(x)=x y h(x)=x^2.

 Cuando g está por encima de h, es decir, entre 0 y 1, la que manda para las sumas superiroes es g mientras que para las sumas inferiores h. Dicho de otra manera el límite de las sumas superiores será la integral de g, mientras que para las superiores la intergral de h.

 Si no estás entre 0 y 1, las funciones intercambian sus papeles, pero la idea es la misma.

Saludos.

06 Junio, 2007, 07:24 pm
Respuesta #2

yo___

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Sí, el intervalo era [0,1], pero la función no es integrable, ¿verdad?
Es que entiendo la idea, pero no sé si tengo que suponer que es integrable y llegar a contradicción, o ponerme a sacar las sumas inferiores y superior. Gracias
Saludos

06 Junio, 2007, 07:32 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 No, no es integrable.

 Es fácil utilizando las sumas inferiores y superiores porque las unas coinciden con las de la función h y las otras con las de la función g. Conoces sus límites porque g y h si son integrables. Y comprueba que no coinciden.

Saludos.