Autor Tema: Suma de alturas

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11 Abril, 2013, 10:34 am
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Michel

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 Demostrar que la suma de las tres alturas de un triángulo es menor que su perímetro.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

11 Abril, 2013, 10:47 am
Respuesta #1

teeteto

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Si a,b,c son los lados y A,B,C los ángulos (siguiendo el convenio usual de que a es el lado opuesto a A, etc...) tenemos lo siguiente:

La altura que cae sobre a mide b.sen C

La altura que cae sobre b mide c sen A

La altura que cae sobre c mide a sen B

Todos los senos que aparecen son menores o iguales que 1 y al menos dos de ellos son estrictamente menores por lo que basta sumar miembro a miembro para concluir el ejercicio.
Debemos saber...sabremos (David Hilbert)

11 Abril, 2013, 04:29 pm
Respuesta #2

Michel

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Demostramos primero que una altura es menor que la semisuma de los lados que parten del mismo vértice.

Sea ha=AA' una altura del triángulo ABC.

Se verifica ha<b, ha<c, porque un cateo es menor que la hipotenusa.

Sumando: 2ha<b+c, de donde ha<(b+c)/2

Aplicando esta relación a las tres alturas: ha<(b+c)/2, hb=(a+c)/2,  hc=(a+b)/2

Sumando: ha+hb+hc<a+b+c
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker