Autor Tema: Sobre puntos de acumulación de los racionales en los racionales raíz de 2.

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09 Abril, 2013, 02:32 am
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lindtaylor

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Holas, he calculado que los puntos de acumulación de los racionales es toda la recta pues \( \mathbb{Q} \) es denso en \( \mathbb{R} \), luego dados \( x,y \) reales, entonces existe un \( z \) racional tal que \( x<y<z \), pues los racionales son densos en los reales, y luego cada intervalo \( I \) centrado en un número real \( x, \) contiene un racional usando la densidad, es decir, \( (x-r,x+r)=I \), luego \( x,x+r \) son reales, luego existe \( z \) racional tal que \( x<z<x+r, \) luego \( z\in I\setminus\left\{x\right\}\cap \mathbb{Q} \), luego \( \mathbb{Q}'=\mathbb{R} \).

Ahora con ese mismo espítiru, cómo puedo calcular los puntos de acumulación de \( \mathbb{Q} \) en \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \)?
Desde ya gracias.

Me acabo de dar cuenta que es lo mismo al parecer, pues dado \( a+b\sqrt{2} \), entonces sea \( I \) intervalo centrado en ese punto, luego \( (a+b\sqrt{2}-r,a+b\sqrt{2}+r) \) contiene un racional tal que \( a+b\sqrt{2}<z<a+b\sqrt{2} \) pues \( a+b\sqrt{2} \) es un real, luego \( z\in I\setminus\left\{a+b\sqrt{2}\right\}\cap \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \), \( z\in\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) pues \( z=a+0\sqrt{2} \)

Sin embargo, he notado que hay algo mal, pues si pasara lo anterior entonces:

\( \mathbb{Q}'=\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \), pero entonces \( \mathbb{Q}'=\mathbb{R}=\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \), luego \( \pi\in\mathbb{R} \), luego \( \pi=a+b\sqrt{2} \), luego \( \pi-b\sqrt{2}=a \), luego \( a\not\in\mathbb{Q} \). Qué hago mal?
....

09 Abril, 2013, 04:41 pm
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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El conjunto de los puntos de acumulación de \( \mathbb Q \) en \( \mathbb Q(\sqrt 2) \) es \( \mathbb Q(\sqrt 2) \), y el conjunto de los puntos de acumulación de \( \mathbb Q \) en \( \mathbb R \) es \( \mathbb R \), pero eso no significa que \( \mathbb Q(\sqrt 2)=\mathbb R \), porque son dos conjuntos distintos. No hay un único conjunto de puntos de acumulación de \( \mathbb Q \), sino un conjunto de puntos de acumulación en cada espacio mayor que consideres.

10 Abril, 2013, 07:07 am
Respuesta #2

lindtaylor

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Claro, ahora lo veo mejor, pues dado\(  a+b\sqrt{2} \), entonces dado un intervalo centrado en \( a+b\sqrt{2} \) se tiene que \( I=(a+b\sqrt{2}-r,a+b\sqrt{2}+r), \) luego como \( a+b\sqrt{2},a+b\sqrt{2}+r \) son reales, existe \( z\in\mathbb{Q} \) tal que \( a+b\sqrt{2}<z<a+b\sqrt{2}+r \), luego existe \( z\in I\cap\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \), luego \( \mathbb{Q}'=\mathbb{Q}(\sqrt{2}). \)
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