Autor Tema: metrica acotada

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03 Abril, 2013, 03:47 am
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aangelo

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Buenas noches.
Agradezco enormemente  a la persona que me pueda dar una idea para resolver el siguiente ejercicio de espacios métricos.

Dado (M,p) un espacio métrico arbitrario. Pruebe que existe una métrica acotada.




03 Abril, 2013, 04:37 am
Respuesta #1

argentinator

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03 Abril, 2013, 04:43 am
Respuesta #2

lindeloff

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hola! como estas?
claro, te ayudamos, para eso estamos

lo que podes hacer eso dado tu espacio métrico \( (M,p) \) es definir otra métrica acotada a partir de esa llamemosle \( r \) a la nueva distancia definida así

\( r:MxM\longrightarrow{[0,\infty)} \)
\( r(x,y)=inf \{ p(x,y) , 1 \} \)

y resulta que \( r \) así definida es una métrica que esta acotada
tenes que probar que efectivamente \( r \) verifica las propiedades para ser una métrica
pero es simple

saludos

03 Abril, 2013, 06:21 am
Respuesta #3

argentinator

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03 Abril, 2013, 08:30 am
Respuesta #4

aangelo

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Hola Lindeloff.
gracias  por su aporte. Que Dios te bendiga.

03 Abril, 2013, 09:07 am
Respuesta #5

Héctor Manuel

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De hecho se puede refinar más el resultado:

Definimos la función \( P:M\times M\to\mathbb{R} \) dada por \( P(x,y)=\dfrac{p(x,y)}{1+p(x,y)} \). Demuestra que \( P \) es una métrica, y además, es claro que con esta métrica el espacio obtenido es acotado. Lo que digo cuando hablo de un refinamiento es que la métrica \( p \) es equivalente a la métrica \( P \).

Saludos.

03 Abril, 2013, 01:42 pm
Respuesta #6

ljdr

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Tambien existe otra metrica que es equivalente a la original y es acotada esta es:
sea \( d:MxM\rightarrow{\mathbb{{R}} \) la metrica original entonces:
\( p:MxM\rightarrow{\mathbb{{R}}/p(x,y)=min(1,d(x,y)) \) es una metrica equivalente y acotada

04 Abril, 2013, 03:31 am
Respuesta #7

Tanius

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sea \( d:MxM\rightarrow{\mathbb{{R}} \) la metrica original entonces:
\( p:MxM\rightarrow{\mathbb{{R}}/p(x,y)=min(1,d(x,y)) \) es una metrica equivalente y acotada

Esa métrica no es equivalente a \( d \) en el "sentido usual", aunque en un sentido topológico ciertamente lo son, por generar a los mismos abiertos.