Autor Tema: conjuntos abiertos

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01 Abril, 2013, 06:38 am
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aangelo

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Buenas noches.

les pido por favor una colaboración en este ejercicio de análisis.

sea \( f\in{C(\mathbb{R})} \), \( a \in{\mathbb{R}} \). Pruebe que \( E_a \) = \( \left\{{x\in{\mathbb{R}}: f(x) mayor que a }\right\} \) es un conjunto abierto.
Demostraciòn.


Debemos probar que \( E_a\subseteq{int(E_a)} \)
sea \( y\in{E_a} \).
Luego, \( y\in{\mathbb{R}} \) tal que f(y) mayor que a.

En este caso, ¿como construyo un radio r donde \( B_r(x)\subseteq{E_a}  \)?. con esto probarìa que \( y\in{int(E_a)} \).

Agradezco de antemano su colaboración.






01 Abril, 2013, 06:40 am
Respuesta #1

Tanius

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Lo estándar es notar que \( E_a = f^{-1}((a,+\infty)) \), luego \( E_a \) es la imagen inversa bajo una función continua de un conjunto abierto, por tanto es abierto.

01 Abril, 2013, 06:45 am
Respuesta #2

aangelo

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Gracias Tanius. EL problema es que aún no hemos visto imagen inversa en análisis. Así que la demostraciòn denbera ser encaminada por la definiciòn de conjunto abierto.

Un conjunto \( X\subseteq{\mathbb{R}} \) es abierto si \( X\subseteq{int(X)} \). Sin embargo, agradezco tu aporte.

02 Abril, 2013, 01:24 am
Respuesta #3

Gustavo

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Sea \( f(y)=b>a. \) y \( \varepsilon =|b-a|/2. \) Por continuidad, para ese \( \epsilon \) existe un \( \delta>0 \) tal que \( |x-y|<\delta \) implica \( |f(x)-f(y)|<\varepsilon. \)