Autor Tema: Sucesión de Cauchy

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

21 Marzo, 2013, 02:20 pm
Leído 1555 veces

adhemir

  • Aprendiz
  • Mensajes: 283
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Buenos dias una pregunta, me piden probar que la sucesion  \( x_{n}=\frac{1}{n} \) es de Cauchy
Hice lo siguiente:

 \( |x_{n}-x_{k}|=|\frac{1}{n}-\frac{1}{k}|=\frac{|n-k|}{|nk|}<\frac{1}{N^2}|n-k|<\frac{\epsilon}{N^2}N^2  \) 
 donde en la última parte use la propiedad Arquimediana de los numeros reales, el \( \epsilon>0 \) fue dado,
 y tenemos por hipótesis que \( n,k>N \)

¿Está bien como procedí, para probar que esa sucesión es de Cauchy???

22 Marzo, 2013, 03:17 am
Respuesta #1

Gustavo

  • Moderador Global
  • Mensajes: 1,778
  • País: co
  • Karma: +0/-0
Hola adhemir,

... y tenemos por hipotesis que \( n,k>N \)

¿Qué hipótesis? Es la existencia de ese \( N \) la que debes asegurar para todo \( \varepsilon \) dado.

26 Marzo, 2013, 11:45 pm
Respuesta #2

adhemir

  • Aprendiz
  • Mensajes: 283
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
MMM, Bueno entonces como seria???

27 Marzo, 2013, 01:36 am
Respuesta #3

Héctor Manuel

  • Lathi
  • Mensajes: 3,631
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Sea \( \epsilon>0 \) dado. Si \( K \) es tal que \( \frac{2}{\epsilon}<K \), entonces para cualesquiera \( m,n>K \) se tiene:

\( |x_n-x_m|\le\left|\displaystyle\frac{1}{n}\right|+\left|\displaystyle\frac{1}{m}\right|=\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{m}<\displaystyle\frac{2}{k}<\epsilon \)

Saludos.

27 Marzo, 2013, 05:00 pm
Respuesta #4

adhemir

  • Aprendiz
  • Mensajes: 283
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
 :aplauso:, se agradece, imaginen que mi profesora no pudo hacerlo en clase.