[andrew79]

Un compañero me dijo que el problema que voy a plantear se resuelve con un sistema indeterminado de ecuaciones, yo no estoy de acuerdo porque si es indeterminado puedo encontrar miles de respuestas y todas son correctas lo que no sucede en este problema que sólo tiene una solución, por favor ayúdenme:

Dos pastores tienen entre los dos 189 ovejas, cuando el primero las agrupa de a 11 le sobran 5, y cuando el segundo las agrupa de 13 también lo sobran 5. La pregunta es cuantas ovejas tiene cada uno?

Gracias por la ayuda, soy profesor de matemáticas  del colegio SEK, el problema planteado lo tomaron como parte de la prueba de ingreso a un colegio de mucho prestigio acá en Ecuador

[Ked]

Hola

La idea es la siguiente: el sistema que queda es indeterminado, sí se pueden encontrar infinitas soluciones en los reales, pero acá estamos trabajando en los enteros positivos, porque las soluciones representarán el número de ovejas de cada pastor.

Llama "x" al número de ovejas del pastor 1, e "y" al número de ovejas del segundo pastor.

Se tiene \( x+y = 189 \).

Además, sabemos que si el primero divide x en 11, le sobran 5. Lo que quiere decir esto es que el resto de la división entera de x entre 11 es 5, por lo que \( x \equiv 5\pmod {11} \) o equivalentemente \( x-5 \) es múltiplo de 11, por lo que podemos escribir \( x = 5 + 11a \) con \( a \in \mathbb{Z} \).
Análogamente con el segundo pastor, podemos decir que \( x-5 \) es múltiplo de 13 por lo que \( x = 5 + 13b \) con \( b \in \mathbb{Z} \).

Sustituímos en \( x+y = 189 \) y nos queda \( 5+11a + 5+13b = 189 \Leftrightarrow 11a + 13b = 179 \).
Esta es una ecuación diofántica lineal de primer orden, queremos buscar soluciones enteras que verifiquen una restricción. Si no sabes resolver ecuaciones diofánticas de primer oden, te aconsejo que busques el procedimiento en Google ya que es muy sencillo. En esta página te las resuelve y te indica los pasos que realiza: http://www.alpertron.com.ar/QUAD.HTM

Después de resolver la ecuación, tenemos que nuestras soluciones son de la forma \( \left\{\begin{matrix} a= 8 +13t \\b= 7-11t\end{matrix} \right \) con \( t \in \mathbb{Z} \)

Esto nos da infinitas soluciones... pero nosotros queremos que tanto x como y sean mayores a cero, por lo que para ver qué t nos sirven, tenemos que resolver el siguiente sistema en los enteros:
\( \left\{\begin{matrix} x > 0 \Rightarrow 5 + 11a > 0 \Rightarrow 5 + 11(8 +13t) >0 \Rightarrow 143t + 93 > 0\\
y> 0 \Rightarrow 5 + 13(7-11t) > 0 \Rightarrow 96 - 143t > 0\end{matrix} \right \) con \( t \in \mathbb{Z} \)

La solución es el intervalo \( -\frac{93}{143} < t < \frac{96}{143} \Rightarrow -0.6503496503 < t < 0.6713286713 \)

Como t debe ser un entero, el único valor que sirve es \( t=0 \).
De ahi despejamos a y b en función de t: \( a = 8 \) y \( b=7 \)

Y finalmente, obtenemos x e y:
\( x = 5 + 11\cdot 8 = 93 \), \( y = 5 + 13\cdot 7 = 96 \)


Por lo que el primer pastor tiene 93 ovejas y el segundo 96. No hay más soluciones que cumplan nuestra restricción de x > 0 e y > 0.

Te dejo verificar que estos números cumplen lo pedido.


Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Ked: aunque la solución está bien tienes alguna errata. En realidad la ecuación te queda:

 11a+13b=179

 La solución es:

 a=8+11t
 b=7-13t

 y es inmediato entonces que para que a y b sean positivos sólo vale t=0.

Saludos.

[Ked]

Gracias por avisar, había copiado unas partes mal. Ya fue corregido.
Igualmente la solución \( a= 8 + 13t \) y \( b=7-11t \) es equivalente a la que indicas

Saludos

[rub3n]

Un problema interesante, a la vez que curioso.