Autor Tema: Sobre contención, familia de conjuntos.

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

18 Marzo, 2013, 01:18 am
Leído 616 veces

lindtaylor

  • Héroe
  • Mensajes: 1,307
  • Karma: +0/-1
  • Sexo: Masculino
Problema:

Sea \( (X_i)_{1\leq i\leq n} \) una familia finita de conjuntos. Para cualquier subconjunto \( H \) del intervalo \( [1,n] \) de \( \mathbb{N} \), sea \( P_H=\bigcup_{i\in H}X_i y Q_H=\bigcap_{i\in H}X_i \). Sea \( \mathcal{F}_k \) el conjunto de todos los subconjuntos de \( [1,n] \) teniendo \( k \) elementos, muestre que

\( \bigcup_{H\in\mathcal{F}_k}Q_h\supset \bigcap_{H\in\mathcal{F}_k}P_h  \) si \( 2k\leq n+1. \)

Si hago que \( n=3 \), tengo que \( [1,3]=\left\{1,2,3\right\} \), y \( k\leq 2 \), luego \( k=1 \) o \( 2 \).

Caso \( k=1 \): Si \( k=1 \) tengo que \( \mathcal{F}_1=\left\{\left\{1\right\},\left\{2\right\},\left\{3\right\}\right\} \), luego dado \( x\in \bigcap_{H\in\mathcal{F}_k}P_H \), tengo que \( x\in P_h \) para todo \( H\in\mathcal{F}_1 \), luego \( x\in \bigcup_{i\in H}X_i \) para todo \( H\in\mathcal{F}_1 \), luego para \( H=\left\{1\right\} \), \( x\in X_1 \), para \( H=\left\{2\right\} \), \( x\in X_2 \), para \( H=\left\{3\right\}, x\in X_3 \), luego sin perder generalidad para \( H=\left\{1\right\}  \) se tiene que \( x\in\bigcup_{H\in\mathcal{F}_1}Q_H  \) pues para ese \( H \), \( x\in Q_H \) pues \( Q_H=\bigcap_{i\in\left\{1\right\}}X_i=X_1 \) y \( x\in X_1 \). Por tanto se cumple en este caso lo pedido.

Para \( k=2 \) el caso es similar, se tiene que \( \mathcal{F}_2=\left\{\left\{1,2\right\},\left\{1,3\right\},\left\{2,3\right\}\right\} \), luego para

\( H=\left\{1,2\right\} x\in X_1 \) o \( x\in X_2 \)
para \( H=\left\{1,3\right\} x\in X_1 \) o \( x\in X_3 \)
para \( H=\left\{2,3\right\} x\in X_2 \) o \( x\in X_3 \)
De acá podemos suponer sin perder generalidad que \( x\in X_1 \) y \( x\in X_2 \).

Elegido lo anterior, elegimos \( H=\left\{1,2\right\} \) y vemos que \( x\in \bigcup_{H}Q_H \), pues para el \( H \) elegido, \( x\in\bigcap_{i\in\left\{1,2\right\}}X_i=X_1\cap X_2 \), lo cual es cierto.

Cómo puedo demostrarlo para el caso general? Me cuesta escribir la demostración formal, y también me gustaría saber cuando uso la condición de que \( 2k\leq n+1 \)? (analizé el caso cuando \( k=3 \) y \( n=3 \), así \( 2\cdot 3>3+1 \), luego la tesis falla, pues \( F_3=\left\{\left\{1,2,3\right\}\right\} \), y el único \( H \) es \( H=\left\{1,2,3\right\} \), luego \( x\in\bigcap_H}P_H \), luego \( x\in P_H \), luego \( x\in\bigcup_{i\in H}X_i, \) luego puede pasar que \( x\in X_1 \) solamente y se tiene que \( x\not\in\bigcup_{H}Q_H \), pues si \( x\in\bigcup_{H}Q_H \) entonces \( x\in Q_H  \) para algún \( H \), luego \( x\in Q_{\left\{1,2,3\right\} \), luego \( x\in\bigcap_{i\in H}X_i \), luego \( x\in X_1\cap X_2\cap X_3 \), pero \( x \) solamente está en \( X_1 \))

....