Autor Tema: Sobre equivalencias, gráfico de función.

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16 Marzo, 2013, 09:31 pm
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lindtaylor

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Este problema es de Dieudonne.
Para cualquier \( G\subset X\yimes Y, A\subset X, A'\subset Y \) sea \( G(A)=pr_2(G\cap(A\times Y)) \) y \( G^{-1}(A')=pr_1(G\cap(X\times A')) \).
Para \( x\in X,y\in Y \), escribamos \( G(x)=G(\left\{x\right\}) \) y \( G^{-1}(y)=G^{-1}(\left\{y\right\}) \), entonces son equivalentes:

(a) \( G \) es el gráfico de un mapeo de un subconjunto de \( X \) en \( Y \).
(b) Para \( A'\subset Y \), \( G(G^{-1}(A'))\subset A'. \)
(c) Para cualquier par de subconjuntos \( A', B' \) de \( Y \), \( G^{-1}(A'\cap B')=G^{-1}(A')\cap G^{-1}(B') \).
(d) Para cualquier par de subconjuntos \( A',B' \) de \( Y \) tal que \( A'\cap B'=\emptyset \), tenemos que \( G^{-1}(A')\cap G^{-1}(B')=\emptyset \).\\

Hint: Demuestre que cuando (a) no se satisface entonces (b),(c) y (d) son violados.

Me gustaría como partir para ver si (a) no se satisface entonces (b) es violado para luego seguir los demás.

Desde ya gracias.
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