[sin_sombra]

Hola soy nuevo aqui y este foro me parece lo máximo .. Bueno al Grano ; necesito una idea  para este problema:

Sea \(  (x_{n}) \) una secuencia de puntos en \( \mathbb{R}^{m}-0 \) ; con \( \displaystyle\lim x_{n}=0  \) y tal que \( \displaystyle\lim\frac{x_{n}}{|x_{n}|}=u \in{S^{m-1}} \), muestre que existe un camino \( f:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}^{m}} \), diferenciable en el punto \(  t=0  \), con \(  f^{\prime}(0)=u \), y una secuencia de números \( t_{n}>0  \) tal que \( \displaystyle\lim t_{n}=0  \) y \( f(t_{k})=x_{k} \).


pd. gracias por su ayuda

[Luis Fuentes]

Hola

 Idea.

 1) Primero supón que la suecesión \( (x_n) \) cumple que sus normas \( |x_n| \) son una sucesión estrcitamente decreciente que tiende a 0.

 En este caso:

 - Toma \( t_n=|x_n| \)

 - f\( (t_n)=x_n \)

 - En los puntos intermedios interpola la función por segmentos que unan \( (t_n,x_n) \) con \( (t_{n+1},x_{n+1}) \).

 - A la izquierda del 0 define f directamente como una recta en la dirección de u.

 - Comprueba que esta función cumple lo que le piedes.

 2) Ahora adáptalo para \( |x_n| \) decreciente (no estrictamente). El problema es que podría haber \( t_n \) repetidos. Pero moviéndolos muy muy muy poco resuelves esto.

 3) Finalmente como tu sucesión\(  (x_n)  \) converge a 0, puedes reordenarla de manera que sus normas sean una sucesión decreciente y aplicar lo anterior.

Saludos.