Eso es completamente cierto. Tendemos a darle semántica inconscientemente a la sintaxis y luego hay sorpresas cuando la semántica no se ajusta a nuestra intuición. Y, ahora es cuando me vas a matar, creo que eso es bueno. Por una sencilla razón: hace al estudiante desconfiar de su intuición. El caso paradigmático es la implicación material cuando "falso implica verdadero" es verdadero.
Discrepo completamente, aunque a la vez soy consciente de que discrepo por un problema de lenguaje. Me refiero a que usas la palabra "intuición" en un sentido que es el más extendido, pero que en estos contextos es capcioso. Decir que "la semántica no se ajusta a nuestra intuición" sólo tiene un significado posible, y es que quien no conoce a fondo una teoría puede equivocarse al manejarla. Esto es innegable. Pero decir que "es bueno desconfiar de la intuición" se presta a interpretarse en otro sentido que a mi juicio es totalmente falso. Quien desconfía de la intuición se equivoca, porque la intuición nunca puede engañarnos (ahora eres tú el que me va a matar).
En estos asuntos es necesario precisar al máximo los conceptos, y los matemáticos usan el concepto de "intuición" como un cajón de sastre en el que cabe todo lo bueno y todo lo malo. Nuestro conocimiento tiene tres bases: la intuición, el entendimiento y la razón, y no debemos confundirlos. La intuición es una capacidad de representación. Una intuición es representarse tres puntitos, al lado otros dos puntitos y observar que en total estoy imaginándome cinco puntitos. Esa intuición me legitima a afirmar que \( 2+3=5 \), y puedo estar absolutamente convencido de que esto es así porque la intuición nunca engaña.
Otra cosa es que cualquiera puede equivocarse. Si yo tomo un libro perfectamente escrito, pero entiendo mal lo que pone y llego a una conclusión falsa, de modo que no puede atribuirse el equívoco al autor, sino a mi torpeza lectora, no puedo concluir "el libro me ha engañado", "hay que desconfiar de este libro", sino, sencillamente, "yo me he equivocado". Igualmente, cuando alguien dice "me he equivocado por hacer caso de mi intuición" eso es imposible. Si, por ejemplo, te has equivocado al contar puntitos intuitivos, te has equivocado al contar, no es que hayas tenido una intuición (una representación mental de puntitos) en la que había dos puntitos por una parte, tres por otra, y en total había cuatro. Si has llegado a esa conclusión es porque te has equivocado al contar, exactamente igual que puedes equivocarte al leer o redactar una demostración formal o al usar una calculadora. En cualquiera de los casos, es absurdo concluir que hay que desconfiar de la intuición, de las demostraciones formales o de las calculadoras (dentro de lo que cabe esperar de ellas, claro. Me refiero a que si en una calculadora pulsas \( 2+3 \) puedes estar seguro de que no te dirá \( 4 \) y si te sale un \( 4 \) es que has pulsado alguna tecla que no debías. El error es tuyo, no de la calculadora.)
Como digo, la intuición es una facultad de representación espacial y temporal, y de ella obtenemos conocimiento matemático fiable en la medida en que hablemos realmente de lo que podemos intuir (no podemos decir que intuimos un espacio topológico raro porque nos representemos unos círculos en un papel que pretendan representar abiertos y cerrados en ese espacio, eso no es una intuición de un espacio raro, sino sólo de unos círculos que no tienen ninguna relación directa con el espacio raro) y en la medida en que tenemos una capacidad de reconocer qué podemos y qué no podemos intuir. (Por ejemplo, sabemos que no podemos intuir cuatro rectas perpendiculares dos a dos.)
Otra cosa muy distinta es la razón, que no es una capacidad de representación, sino una capacidad de describir conceptualmente realidades (o ficciones) y establecer relaciones lógicas entre ellas. El razonamiento lógico es una de las facetas de nuestra capacidad de razonar. No la única, pero la única que nos interesa aquí. Así, que "falso implica verdadero " es verdadero no es nada ni intuitivo ni antiintutivo. No hay ninguna representación intuitiva de lo verdadero, lo falso o las implicaciones. Es un hecho cierto porque así nos lo asegura nuestra capacidad de razonar, no nuestra intuición. Si a alguien le sorprende, no hará bien en desconfiar ni de la intuición (que aquí no tiene nada que ver) ni de la razón. Deberá desconfiar de su uso de la razón, pero no para dejar de fiarse de él, sino para corregirlo y poder seguir fiándose de él. Es como si me equivoco al hacer una suma y concluyo que debo desconfiar de las sumas.
Con estas precisiones hechas, y en el sentido que estoy dando a las palabras "intuición" y "razón", es un absoluto sinsentido decir que "la semántica puede no ajustarse a la intuición" (no digo que dijeras un sinsentido, puesto que tú empleabas las palabras en otro sentido). Cuando en mi artículo hablo del lenguaje de la aritmética y considero su modelo natural, dicho modelo es un modelo intuitivo. Su universo es el conjunto de los números naturales, un conjunto que conocemos exclusivamente a través de nuestra intuición, pues puede probarse que un sistema de primer orden no puede caracterizarlo y un sistema de segundo ordeno no nos da nada. Y es impensable que la semántica no se ajuste a la intuición, pues en último extremo la semántica es intuición. Los axiomas de Peano son verdaderos porque son intuitivamente verdaderos. Si alguien dice, esto es verdadero pero mi intuición me dice que es falso, se está equivocando, no es cierto que su intuición le diga que es falso, como si alguien interpreta mal un libro donde no dice lo que uno cree leer.
Otra parte de la semántica no tiene nada que ver con la intuición (es la parte en la que asignamos un valor de verdad, no a una relación o función definida intuitivamente, como la suma de números naturales) sino a una fórmula compleja en la que aparecen conectores lógicos. Ahí la intuición no tiene nada que ver, y es la razón la que determina si algo es verdadero o falso, a partir de deducciones lógicas (informales, es decir, rigurosas, pero no formalizadas, no digo "informal" en el sentido de "sin rigor" que a veces le dan los matemáticos) y no puede ocurrir que la semántica contradiga a la razón porque la semántica se construye para formalizar la razón.
Aclarado esto, no veo qué queda de sustancia en tu argumento de que es mejor presentar primero la sintaxis y luego la semántica para que el alumno se pueda formar concepciones erróneas y luego se sorprenda al darse cuenta. Si se forma concepciones erróneas es porque no se le ha explicado cómo se debe interpretar todo lo que maneja y eso le lleva a usar incorrectamente su intuición y su razón de forma improvisada en todo lo que se deja en el aire. No falla su intuición y no falla su razón. Falla su entendimiento, que es el que debería asociar lo que se le dice con las intuiciones pertinentes y con los razonamientos pertinentes. En el fondo es un fallo de lenguaje. El alumno oye palabras y no acaba de interpretarlas completamente o correctamente por falta de información precisa (toda la parte semántica que vendrá luego) o de ejemplos convenientes (porque la semántica es temporalmente tabú). No le veo la ventaja.
Ten piedad con el lector. Este lector luego, en otro contexto, se encuentra con un semigrupo y recordará algo de los grupos pero... ¿esto que leí también valía para los semigrupos o sólo era para los grupos? Hace poco empecé a leer un libro sobre análisis funcional y empezaron con los espacios métricos. El autor empezó con muchos teoremas sobre estos espacios que realmente sólo requerían que la topología fuera Hausdorff (ya sabes, cosas de límite de secuencias único y demás). Al final no sabía si cada teorema realmente necesitaba que el espacio fuera métrico o Hausdorff. Tuve que dejar el libro porque me estaba liando conocimientos que ya tenía. ¿Qué trabajo le habría costado definir un espacio de Hausdorff y decir que los espacios métricos son Hausdorff con su topología asociada?
Estoy totalmente de acuerdo con tu filosofía al respecto, pero no considero que sea aplicable al caso que nos ocupa. Yo he estudiado muchas matemáticas muy variadas, y jamás he tenido necesidad de usar el concepto de semigrupo. Sé ponerte ejemplos de contextos en los que aparece, por ejemplo al hablar de semigrupos de operadores al estudiar sistemas dinámicos, etc. Pero el uso que se hace ahí del concepto de semigrupo es trivial, y no cuesta nada tomar perfecta conciencia de qué vale para esos semigrupos sin colar de contrabando cosas que sólo valen para grupos. Por eso me parece una aberración que si hay que explicarle a uno teoría de grupos se le maree hablándole primero de semigrupos, por si algún día dentro de mil años, se topa con un semigrupo y así le evitamos que pierda diez minutos centrándose en ese contexto. Incluso te diré que me parece más sensato empezar hablando de anillos, y de cuerpos, y que sólo después se hace interesante el estudio de los grupos, cuando ya tiene uno bastantes ejemplos a mano que justifiquen el estudio de tal estructura. Además, para estudiar grupos hay que tratar con números primos, y para tratar con números primos tienes que hablar de anillos. Es verdad que podrías considerar primos en \( \mathbb Z \), pero me parece más inoperante explicar lo que son primos en \( \mathbb Z \) como caso particular, luego estudiar grupos, luego anillos, y luego la teoría de la divisibilidad en dominios íntegros arbitrarios, que empezar por anillos y divisibilidad en general, particularizar a \( \mathbb Z \) y luego estudiar grupos. Nadie echa de menos los grupos al estudiar los anillos, pero sí que es conveniente tener una teoría sólida sobre la divisibilidad para estudiar los grupos.
El otro caso que citas es completamente distinto. Estoy totalmente de acuerdo en que es absurdo explicar espacios métricos para luego pasar a espacios topológicos (a no ser que, por razones didácticas, se imparta un curso de espacios métricos y luego otro que parta de cero sobre espacios topológicos, pero si no se está dispuesto a pasar dos veces por lo mismo, los espacios topológicos deben ir primero). Y la razón es que sin duda te vas a encontrar con muchos espacios topológicos que no sean métricos o, como te decía antes, aun en el supuesto de que sólo te interesen los espacios métricos, sólo conociendo los espacios topológicos puedes comprender realmente el efecto de cambiar una métrica por otra equivalente. Quien no conoce los espacios topológicos no puede entender bien el concepto de métrica equivalente que necesitará aunque sólo le interesen los espacios métricos. Esto es cierto, pero niego la menor, niego que esto sea aplicable al caso que nos ocupa. No veo absolutamente ninguna ventaja en estudiar la lógica general para entender correctamente la lógica en el sentido particular de formalización del razonamiento.
Cada cosa debe estar en su estructura, aunque tampoco sin pasarse. ¿Cuándo es una estructura suficientemente importante para dejarla? Ahí, la verdad, está la opinión de cada uno. Si la definición es simple, creo que es mejor dejarlo. Si el lector está interesado en, no sé, semigrupos, ya explorará y descubrirá las relaciones de Green y esas cosas. En el caso que nos concierne, ¿es suficientemente importante hablar de los lenguajes formales aparte? La verdad, yo creo que sí.
Pues eso es lo que debes argumentar. A mí, no sólo no se me ocurre ningún argumento (no digo que haya más en un sentido que en otro, digo que no se me ocurre ni uno sólo a favor de esa postura) sino que, más aún, ni siquiera imagino cuáles pueden ser los argumentos que tengas tú, es decir, ni siquiera puedo decir, sé que otros tienen argumentos a favor, pero no me convencen. Es que no alcanzo a imaginar esos argumentos.
¿Es suficientemente importante hablar de la lógica sin igualdad? Ahí ya tengo mis dudas dados los objetivos que te has planteado con el artículo.
Pero, incluso al margen de los objetivos que me he planteado, ¿puedes ponerme un ejemplo concreto de alguna situación en tu vida en la que hayas tenido ocasión de aprovechar que en su día estudiaste lógica sin igualdad? No digo que no sea posible, pero me gustaría conocer un caso concreto para formarme una idea de qué puede llevar a algunos a considerar que es útil estudiar lógicas sin igualdad (aparte del mero interés técnico de ver qué vale con y qué vale sin igualdad).
Personalmente creo que aporta mucho el enfoque abstracto. Más en este caso en el que son unas pocas líneas de definición y llegamos a resultados bastante interesantes.
¿Por ejemplo? No sé a qué resultados bastante interesantes te referirás, pero para que te concediera que es mejor el enfoque abstracto tendrían que ser resultados que, conociéndolos, uno estuviera en condiciones de entender mejor el caso que interesa. Por ejemplo, quien no conozca espacios topológicos no puede acabar de digerir el concepto de métricas equivalentes. ¿Hay algo parecido en nuestro contexto?
Sobre los profesores que ponen problemas tontos, desconozco si es por torpeza propia o del alumnado. Si es en el primer caso, no tienen perdón. En el segundo, en fin. De cualquier modo, convendrás conmigo que la sintaxis de la lógica de primer orden puede resultar compleja a alguien que no esté muy curtido en matemáticas. Es habitual empezar con cosas simples y avanzar hacia las complejas.
No, si, por "tontos" quería decir "tontamente abstractos". Me refiero a cosas como "encontrar una definición recursiva de un lenguaje cuyas palabras son éstas". Yo me planteo: si los únicos lenguajes que al final van a interesar son unos concretos cuyas fórmulas vienen ya definidas directamente con unas definiciones recursivas, ¿qué aporta a un estudiante de lógica encontrar definiciones recursivas raras de lenguajes raros (donde raros no significa complicados, sino simplemente tontos)?
Otro ejemplo que no es lo mismo: una vez alguien pidió ayuda en el foro para demostrar que si tenemos un cálculo deductivo cuyas reglas de inferencia son modus ponens y generalización, es posible eliminar la regla de generalización y añadir cierta familia de infinitos axiomas de modo que los teoremas sean los mismos. Nunca se me había ocurrido pensar eso. Lo vi, las indicaciones que daban eran suficientes para probarlo, no hay problema, es una curiosidad, tiene su gracia, pero ¿qué aporta eso? ¿Qué aporta saber que lo que puede hacerse de forma natural con dos reglas de inferencia puede hacerse también de forma artificial con una de ellas? Si la vida humana fuera infinita, habría tiempo para todo, pero teniendo en cuenta que el tiempo de un estudiante es limitado, ¿no es mejor enseñarle cosas de provecho, que no hay pocas, en lugar de entretenerlo con curiosidades? Pues considero que la posibilidad de generalizar la lógica no es más que una mera curiosidad. Hay teorías generales que aportan una visión más profunda y rica de los casos particulares que engloban, de modo que quien estudia el caso general enriquece su visión del caso particular. Pero no veo el menor indicio de que éste sea el caso.
Nota al margen: creo que las categorías son de las cosas más bellas que hay en matemáticas. El grado de abstracción y la dificultad de su comprensión son (desde mi punto de vista) recompensadas por los frutos que da. Por otra parte, es cierto que son un tema arduo y yo mismo estoy deseando encontrar un libro menos abstracto sobre el tema.
Yo estudié teoría de categorías en cuarto curso de carrera. No le vi utilidad alguna y no me interesó lo más mínimo. Desde entonces estudié muchas matemáticas sin que la teoría de categorías me hiciera falta alguna, hasta que llegué a la topología algebraica y me encontré con que las definiciones y poco más de la teoría de categorías resultaban útiles, y naturalmente no les hice ascos, las puse en mi libro de topología algebraica porque eran adecuadas, pero eso sí, sólo un par de páginas con los conceptos básicos y poco más. Luego fui a estudiar geometría algebraica y ahí llegué a resultados que requerían resultados más profundos que sólo podían expresarse correctamente en términos de categorías, y no les hice ningún asco. Estudié lo necesario porque era conveniente. Y por eso te digo que la teoría de categorías es muy útil, muy interesante, muy ingeniosa y muy hermosa, pero para las situaciones en las que realmente prueba su utilidad. Pero sigo pensando en que en todos los contextos en los que yo no echaba de menos las categorías (por ejemplo, para estudiar teoría de grupos, o de módulos) las categorías no aportan nada, pues esa belleza y utilidad que te reconozco, sólo se fundamentan en su aplicación en contextos que no va a apreciar quien no se enfrente a ellos.
Esto es contrario a mi punto de vista, pero sigue el camino de "no hay paleta" y somos "burros con anteojeras" por un camino ya pensado.
Es que creo que la paleta es una falsa paleta. Es como si vas a elegir un traje y el dependiente te lleva directamente a la sección de caballero, y no te enseña trajes para señora. ¿Es ponerte anteojeras no enseñarte lo que es evidente que no te va a servir para nada?
Y tampoco es cierto que el camino ya esté pensado. Eso pasa cuando te dan la sintaxis sin semántica. Tienes que aceptar que las definiciones son las que son porque están pensadas para que luego todo salga bien. Con el enfoque que propongo no hay nada que aceptar. En cada momento se justifica por qué se hace cada cosa como se hace. Con el enfoque que propongo se ve el por qué de cada cosa.
Tiempo habrá de quitar las anteojeras y enseñar la paleta. Habla de frases del lenguaje natural. Trata la sintaxis como una abreviatura de las frases. Descubre cómo razonamos con el lenguaje natural e imita ese razonamiento con las reglas de inferencia sobre las abreviaturas.
Es que yo creo que esa receta que estás esbozando es la lógica. A lo sumo rectifico: la sintaxis no es una abreviatura de las frases, es una formalización de las frases, e igualmente el razonamiento formal no es una imitación del razonamiento, sino una formalización del mismo. Cuando imitas, puedes preguntarte por qué imitas esto y no aquello. Aquí no hay más que un modelo a imitar, por lo que lo que haces no es imitar, sino plasmar, capturar, formalizar.
La paleta que quieres enseñar no es una auténtica paleta (para eso los demás colores de la paleta deberían estar en pie de igualdad con el "elegido") sino que es el conjunto de todo lo que no sirve. Es como la sesión de tomas falsas de una película. ¿Qué esperas ver en el cine, las tomas falsas mezcladas con las buenas, o sólo las buenas?, sin perjuicio de que luego tengas curiosidad por conocer las tomas falsas.
Sí. Yo hablo de conjuntos. Otra cosa es que, por ignorancia, no haya puesto condiciones más relajadas. Supongo que en la sintaxis podría hablar de "una colección no vacía bien definida de símbolos cualesquiera" signifique lo que quiera que eso signifique, ya que estamos hablando en un lenguaje natural y no en un lenguaje formal.
En la semántica, si queremos que sea denotacional, debemos relacionar cada fórmula con un objeto matemático (que casi siempre será un conjunto). Si queremos semántica operacional, sólo necesitamos transformar las fórmulas sintácticamente. Otra cosa es que esas transformaciones sean correctas y completas.
Sobre esto habría mucho que matizar. No sé si te entiendo bien. Pareces hablar de los objetos matemáticos como si fueran algo que está ahí, dado, de modo que puedes decir con toda naturalidad "interpetamos este lenguaje tomando como universo el conjunto de los números reales". No creo que algo así tenga sentido si no es en el contexto de una teoría formal previa que nos permita hablar de números reales. O te malinterpreto, o hablas de esto con demasiada ligereza.
Ya hemos hablado de esto. La dualidad de explicar antes sintaxis o semántica.
Insisto en que lo que pretendo no es ni lo uno ni lo otro, sino explicarlas simultáneamente. No es lo mismo.
...Me confunde que llames semántica operacional a unas reglas de inferencia...
No creo que sea estándar llamar "operacional" a las reglas de inferencia,
No, si lo que me confundía no es que dijeras "operacional", sino que dijeras "semántica". Una regla como el modus ponens (de \( \alpha\rightarrow \beta \) y \( \alpha \) se deduce \( \beta \)) no tiene nada de semántico. La versión semántica sería "si \( \alpha\rightarrow \beta \) y \( \alpha \) son verdaderas en un modelo, entonces \( \beta \) también lo es".
pero desde un punto de vista computacional son precisamente eso: transformaciones sintácticas. Ojo que las reglas de inferencia podrían ser la única semántica necesaria para la lógica de primer orden. Sin embargo, es más común dotarla de una semántica denotacional (dándole un valor a cada fórmula) y luego comprobar que ambas aproximaciones son equivalentes mediante demostraciones formales de corrección y completitud.
Pues por eso, son transformaciones sintácticas, no semánticas. Pero luego vuelves a calificarlas de semántica. No logro ver coherencia en lo que dices.
Mi planteamiento no sirve para fundamentar la teoría de conjuntos a menos que (y esta es mi opinión nada experta)
1) Trates los lenguajes formales como formas de escribir símbolos sobre papel o pantalla. Creo que es posible hacerlo sin mencionar ningún concepto matemático y sólo usando los símbolos de manera informal, pero estricta.
2) Uses las reglas de inferencia como semántica. Olvídate de que \( \overline N \) sea Napoleón. \( \overline N \) son símbolos en papel. No hay interpretación de los símbolos. La semántica es cómo trabajes con esos símbolos.
En este caso sólo estaríamos hablando de cómo escribir las cosas de manera formal. No hay conceptos matemáticos. Sólo una normativa muy concreta de cómo escribir sobre el papel. El que esta normativa se corresponda a un tipo de pensamiento lógico es algo que veo difícil de demostrar, pero fácil de justificar.
¿Ves? En esto que dices veo los efectos de alguien que se ha acostumbrado a admitir la sintaxis acríticamente como algo arbitrario, como una elección arbitraria en una paleta y que, en consecuencia, ha asimilado ese conformismo y se conforma con cualquier cosa.
Efectivamente, yo puedo decir: tomamos estos signos, definimos las fórmulas con estas reglas, elegimos estos axiomas y estas reglas de inferencia, definimos así una demostración y ya temos ZFC. Pero si eso te basta, entonces no has aprendido nada de lo que la lógica "de verdad" te puede enseñar. No has aprendido que lo que te contentas con presentar como una serie de reglas arbitrarias que te bastan para poder hacer matemáticas con precisión no son unas reglas arbitrarias, sino que tienen una justificación que las distinguen de cualesquiera otras de la paleta (dejando de lado versiones distintas, pero equivalentes). No has aprendido que si tomamos los axiomas lógicos y las reglas de inferencia que tomamos es porque podemos demostrar que esos axiomas son verdaderos en cualquier modelo concebible, y que esas reglas de inferencia nos llevan siempre de afirmaciones verdaderas a afirmaciones verdaderas y, más aún, podemos demostrar que sería inútil añadir más reglas o más axiomas, pues sucede que cualquier afirmación que deba ser verdadera por el hecho de ser verdaderos nuestros axiomas es demostrable según nuestra definición a partir de nuestros axiomas y nuestras reglas de inferencia.
Y para poder demostrar todo esto, para poder recibir esta enseñanza que la lógica pone a nuestra disposición, lo primero que tienes que aprender es que tu planteamiento es totalmente erróneo, que no puedes permitirte el lujo de tratar sólo con signos, prescindir de la semántica y sólo estudiar la semántica luego, cuando tengas la teoría de conjuntos a tu disposición, porque sucede que todo esto que te digo puede demostrarse, pero puede demostrarse estudiando la semántica del lenguaje formal que necesitas para definir la teoría de conjuntos, y asegurándote de que puedes hacerlo sin apoyarte en ninguna teoría de conjuntos, lo cual, aunque posible, no es trivial en absoluto, pues requiere meditar bastante sobre hasta dónde puede llegar nuestro conocimiento descansando únicamente en la razon (no formalizada) y en la intuición (como fuente de premisas para la razón), sin apoyarse en ninguna teoría axiomática.
En este caso no estoy tan enfocado en la definición concreta de lenguaje definido inductivamente (que si mediante una construcción o usando un teorema de recursión) como en repetir una construcción similar en dos definiciones (la de término y fórmula). Creo, aunque esto ya es opinión personal, que sería más provechoso sacar de estas dos definiciones la idea de lenguaje definido inductivamente y usarla luego en cada una de esas definiciones.
Al final terminas con tres definiciones en vez de dos, pero haces ver al lector que estás usando el mismo mecanismo en ambas. Es más, puedes razonar sobre este mecanismo (por ejemplo, para realizar demostraciones por inducción estructural).
Ciertamente, es ya una opinión personal, en la cual disiento. Es evidente que las dos definiciones corresponden al mismo esquema. No necesitas dar una definición general para ponerlo de manifiesto. Yo estoy haciendo inducciones estructurales y voy a hacer muchas más. Cuando introduzca los descriptores mostraré que es posible hacer inducciones que afecten simultáneamente a términos y fórmulas. La cuestión es ¿las entenderá mejor alguien que primero las estudie en un contexto abstracto cuando sólo va a concretar ese contexto abstracto en dos contextos concretos? Yo creo que no. No las entenderá ni mejor ni peor. La única diferencia es haberse pasado un rato estudiando un contexto abstracto a ciegas, o habérselo ahorrado.
Separar la sintaxis de la semántica no implica que tengas que ocultarle la intencionalidad que hay detrás.
Cuanto menos implica hacerlo de forma vaga e imprecisa, porque la forma rigurosa y precisa de hacerlo es explicando la semántica que hay detrás y, aunque en teoría eso pudiera ser cierto, en la práctica dudo que lo sea. Porque el efecto es acostumbrarse a decir amén a cualquier definición que se presente y a contentarse con ello. Como te decía antes, creo que tú misma eres víctima de ese conformismo.
Yo lo veo más como un asunto de organización.
No veo por qué simultanear la semántica con la sintaxis deba ser considerado "desorganizado". Otra cosa es que el artículo que estoy escribiendo lo escribo a vuelapluma, sin un plan preestablecido. Es posible que las cosas queden algo más confusas de lo que me quedarían si pudiera meditar más la organización y la estructura del texto, pero no creo que esmerar la organización sea incompatible con presentar simultáneamente semántica y sintaxis.
Dejando a un lado la necesidad de la teoría de conjuntos para las definiciones que he propuesto, algunas de las ventajas que me vienen a la mente son:
1) Definición. Basta con darle un nombre a las cosas para que podamos usarlas y estudiarla con mayor comodidad. Si estás usando un lenguaje formal, define lenguajes formales. Si estás usando una sintaxis, define la sintaxis. Dale nombre.
No entiendo a qué te refieres. Yo he definido los lenguajes formales (de primer orden que voy a usar). En cuanto a definir "sintaxis", confundes definir con definir un concepto más abstracto. Si estoy trabajando con \( \mathbb R^n \), estoy trabajando con un espacio vectorial, pero no necesito definir espacio vectorial mientras los únicos ejemplos que voy a manejar sean los espacios \( \mathbb R^n \), con sus operaciones de espacio vectorial. Incluso podría definir el concepto de subespacio vectorial de \( \mathbb R^n \) sin dar la definición axiomática de espacio vectorial. Y no creo que fuera útil definir el concepto abstracto de espacio vectorial si al final los únicos ejemplos que voy a manejar son los espacios \( \mathbb R^n \). La razón que justifica el concepto de espacio vectorial es que en muchos contextos es útil trabajar con distintos espacios vectoriales que no son sólo \( \mathbb R^n \) ni sólo cualquier otra familia concreta. Si yo sólo voy a trabajar con una sintaxis, no necesito definir "sintáxis", sólo necesito definir la sintaxis que voy a manejar. Lo contrario, inducir una generalidad innecesaria no tiene ninguna ventaja que yo conozca.
2) Reutilización. Los lenguajes formales que puedes definir no son únicamente los de la lógica de primer órden.
Ya, pero yo en toda mi vida no he usado nunca ningún lenguaje formal que no sea de la lógica de primer orden. Bueno, miento, sí que he tenido ocasión de usar variantes que no se corresponden con esa definición: algún lenguaje de segundo orden, lenguajes con fórmulas infinitamente largas, lenguajes con cuantificadores, conjuntores o disyuntores que agrupan infinitas fórmulas, etc. Pero, dicho sea de paso, estos lenguajes no caben siquiera en el esquema general que tú propones, en el que los signos deben formar conjuntos finitos o numerables. No creo que un conjuntor infinito (que requiere incorporar ordinales a la sintaxis) quepa dentro de tu esquema general. ¿Significa eso que antes de explicar lógica a alguien que quiere aprender lógica debo enseñarle antes teoría de ordinales para poder enseñarle una paleta más amplia que la que tú imaginas en la que los ordinales puedan aparecer en la definición de fórmulas infinitas? Creo que hasta a ti te parecerá una aberración.
Por otra parte, cuando he tenido que tratar con esos lenguajes formales, en contextos muy concretos, no he tenido ninguna dificultad en adaptar lo que sabía del caso particular al caso general. En cambio, creo que marear a un principiante con lenguajes con conjunciones infinitas, determinadas por ordinales para luego particularizar al caso finito es mucho menos sensato que explicarle el caso finito y cuando vaya a necesitar casos más generales dejar que estudie lo que realmente necesitará, y no pretender prepararlo para todo en la vida desde el primer día.
En cualquier caso, rectificando mi afirmación falsa de antes: de todos los lenguajes formales que he tenido que tratar y que no caben en el esquema que presento en mi artículo, casi ninguno cabe en tu esquema general. Eso es lo malo de generalizar, que es como tratar de decir el número más grande. Nunca sabes si te encontrarás otro número mayor.
Igualmente, una misma sintaxis puede tener varias semánticas. Por ejemplo, puedes usar una lógica intuicionista en vez de la lógica clásica con la misma sintaxis.
Cierto, pero yo no estoy diciendo nada que excluya ir más allá de donde yo voy. Yo estoy presentando una sintaxis y la acompaño de una semántica que la justifique. ¿En qué impide eso a alguien que me lea aprender después que, aparte de la semántica que yo le he enseñado y que le ha servido para entender por qué la sintaxis es la que es, puede considerar otras semánticas posibles?
3) Guía. Una vez que le damos la pista al lector del nombre de una de las estructuras que usamos, el lector podrá investigar. Podrá buscar qué es una semántica operacional, o un lenguaje definido inductivamente, etc.
Tus ventajas me parecen cada vez menos serias. Ésta ya deja mucho que desear. Cualquiera puede poner "lógica" en google e investigar. No creo que sea decisivo que en mi artículo haya dado más o menos "pistas". El objeto de mi artículo es discutir algunas cuestiones conceptuales que a mi juicio no se tratan con la debida atención a los libros. No pretende ser una referencia a partir de la cual uno busque ampliaciones sobre el tema. Podría dar la vuelta a tu argumento y decirte que un libro escrito como tú planteas puede ser mucho menos asequible para un gran número de lectores que podrían seguirlo más fácilmente en un libro estructurado yo lo planteo (hablo de los criterios estructurales, sin entrar en mi habilidad—que considero más bien escasa— para hacerme entender por principiantes, aun suponiéndolos inteligentes). Si esto fuera así, podría haber más lectores que, tras haber digerido bien unas cuantas ideas fundamentales estuvieran capacitados y motivados para profundizar en el tema (para lo cual google es mejor que todas las guías que yo pueda dar) que alguien que lea un libro estructurado como tú propones y que acabe con la idea de que "esto de la lógica debe de ser importante, pero yo no acabo de cogerle la idea".
4) Referencia. Igualmente, al organizar el discurso y separarlo en partes, al hablar de un tema sólo hacemos referencia a la parte que corresponde. Que alguien no entienda qué es un término puede significar realmente que no entiende lo que es un lenguaje definido inductivamente.
Eso es capcioso. Alguien que no entienda lo que es un término no entiende la definición de término, y le costará menos entender la definición de término que necesita concretamente en este contexto que entender el concepto general de lenguaje definido inductivamente. Es como si me dices que alguien puede no entender lo que es la suma y el producto en \( \mathbb R^n \) porque no entiende lo que es un espacio vectorial. Será más bien al revés. Quien entienda lo que es \( \mathbb R^n \) estará en mejores condiciones de entender lo que es un espacio vectorial abstracto que quien no haya visto ningún ejemplo.
5) Concreción. Hemos tardado un poco más en definir lo que es un lenguaje formal, pero luego definimos la sintaxis con mucha más brevedad. A menor brevedad, menos margen para ambigüedades, lapsus, errores de comprensión o de cualquier otro tipo.
Obviamente, cuanto menos breve seas, mejor te explicarás, pero si eres menos breve trabajando con el único caso concreto que necesitas, serás más claro y dejarás menos margen para todo lo que dices que si empleas la misma extensión presentando primero un contexto abstracto que excede con mucho las necesidades de lo que vas a decir. Quiero decir que si tú empleas 10 páginas para lo que yo uso 4, lo más provechoso no son tus 10 páginas, sino que yo usara 10 páginas para decir lo mismo que he dicho en 4 con más detalles y ejemplos, pero sin pasar inútilmente a tu grado de generalidad.
Todo lo que estamos hablando es un tema muy interesante. Me gustaría poder dedicarle algo de tiempo a definir lenguajes formales sin hacer referencia a otra cosa que símbolos escritos sobre el papel y frases como "escribir delante" o "escribir detrás". Luego, las reglas de inferencia de la misma manera. Vamos. Tener un sistema formal descrito sin usar objetos matemáticos.
Bueno, no es especialmente complicado, al menos si sólo quieres definir lenguaje, axiomas y teoremas. El problema es el que te he explicado antes, que si te conformas con eso, es que sufres la "deformación profesional de la lógica abstracta". Porque nadie debería contentarse sólo con eso. Si haces eso no serás un burro con anteojeras, pero sí un burro que, viendo todo el panorama, se conforma con seguir el camino que siguen todos, sin preguntarse por qué, de todos los caminos que ve, todos van por ése y no por cualquier otro.
