Autor Tema: Regla de los signos de Descartes

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25 Mayo, 2007, 01:25 pm
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nigol

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Hola
Necesito que por favor me ayuden con la demostración de este teorema (Regla de los signos de Descartes), me gustaría que fuera comprensible para un estudiante de tercer semestre de matemáticas puras.

Muchas gracias

25 Mayo, 2007, 06:06 pm
Respuesta #1

Esculapio

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Nigol: esto es lo que yo sé de esta Regla, no sé si es a lo que te referías o si existe otra, te paso los datos que tengo.

Regla de los signos de Descartes
Rene Descartes encontró un método para indicar el número de raíces positivas en un polinomio.

Esta regla dice lo siguiente:

"El número de raíces reales positivas de un polinomio f(x) es igual al número de cambios de signo de término a término de f(x)"
Hay que recordar que los polinomios los tenemos que escribir en orden decreciente conforme al grado de cada término.
Por ejemplo el polinomio

\[ f(x)=x^2+x-12 \] tiene un cambio de signo, del segundo al tercer término, por lo tanto tiene una raíz positiva.

\[ g(x)=+x^3-4x^2+x+6 \] tiene dos cambios de signo, tiene dos raíces positivas

\[ h(x)=+x^4-5x^2+4 \] tiene dos raíces positivas

\[ i(x)=x^3+4x^2+3x \] No tiene cambios de signo, por lo tanto no tiene raíces reales positivas.


Si el polinomio es:
\[ j(x)=x^3-2x^2-5x+6 \]   ¿Cuántas raíces positivas tiene?

Hay más sobre cómo calcular las raíces de un polinomio con coeficientes enteros.

Espero que lo expuesto sea lo que estabas buscando.

Saludos


25 Mayo, 2007, 06:13 pm
Respuesta #2

Ked

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Si no me equivoco, la demostración no es muy directa, el teorema no fue demostrado hasta más de 100 años después de ser postulado.

Acá http://sep.stanford.edu/oldsep/stew/descartes.pdf hay un PDF que demuestra varios teoremas y lemas previos, para poder llegar a demostrar la regla de los signos.

Acá otro documento http://homepage.smc.edu/kennedy_john/POLYTHEOREMS.PDF
Este prueba muchos teoremas relacionados con los polinomios, y la parte de la regla de los signos de Descartes ocupa como 7 páginas :P

Saludos