Autor Tema: medida exterior invariante bajo traslaciones...

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20 Febrero, 2013, 08:14 pm
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nanelito

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Como demuestro que \( mE = m(E + a); a\in{\mathbb{R}} \) siendo \( m \) la medida exterior de lebesgue ??

20 Febrero, 2013, 09:30 pm
Respuesta #1

Héctor Manuel

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\( m(E+a)=\inf\{\displaystyle\sum_{i=1}^\infty(b_n-a_n):a_n\le b_n,\mbox{  }E+a\subseteq\bigcup_{n=1}^\infty(a_n,b_n]\} \)

Sea \( \{(a_n,b_n]\} \) un cubrimiento numerable de intervalos semiabiertos de \( E+a \). Entonces \( \{(a_n-a,b_n-a)\} \) es un recubrimiento numerable de intervalos semiabiertos de \( E \). Luego, \( m(E)\le\displaystyle\sum_{i=1}^\infty[ b_n-a-(a_n-a)]=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty(b_n-a_n) \), de donde \( m(E)\le m(E+a) \).

Ahora, si \( \{(a_n,b_n]\} \) es un cubrimiento numerable de intervalos semiabiertos de \( E \), entonces \( \{(a_n+a,b_n+a]\} \) es un cubrimiento numerable de intervalos semiabiertos de \( E+a \).

Por tanto \( m(E+a)\le\displaystyle\sum_{n=1}^\infty[b_n+a-(a_n+a)]=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (b_n-a_n) \). Luego, \( m(E+a)\le m(E) \).

Saludos.

20 Febrero, 2013, 10:17 pm
Respuesta #2

nanelito

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