Autor Tema: medida exterior invariante bajo traslaciones...

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

20 Febrero, 2013, 16:14
Leído 870 veces

nanelito

  • Semi Pleno
  • ***
  • Mensajes: 126
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Ver Perfil
Como demuestro que \[ mE = m(E + a); a\in{\mathbb{R}} \] siendo \[ m \] la medida exterior de lebesgue ??

20 Febrero, 2013, 17:30
Respuesta #1

Héctor Manuel

  • Lathi
  • *****
  • Mensajes: 3.631
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Ver Perfil
\[ m(E+a)=\inf\{\displaystyle\sum_{i=1}^\infty(b_n-a_n):a_n\le b_n,\mbox{  }E+a\subseteq\bigcup_{n=1}^\infty(a_n,b_n]\} \]

Sea \[ \{(a_n,b_n]\} \] un cubrimiento numerable de intervalos semiabiertos de \[ E+a \]. Entonces \[ \{(a_n-a,b_n-a)\} \] es un recubrimiento numerable de intervalos semiabiertos de \[ E \]. Luego, \[ m(E)\le\displaystyle\sum_{i=1}^\infty[ b_n-a-(a_n-a)]=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty(b_n-a_n) \], de donde \[ m(E)\le m(E+a) \].

Ahora, si \[ \{(a_n,b_n]\} \] es un cubrimiento numerable de intervalos semiabiertos de \[ E \], entonces \[ \{(a_n+a,b_n+a]\} \] es un cubrimiento numerable de intervalos semiabiertos de \[ E+a \].

Por tanto \[ m(E+a)\le\displaystyle\sum_{n=1}^\infty[b_n+a-(a_n+a)]=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (b_n-a_n) \]. Luego, \[ m(E+a)\le m(E) \].

Saludos.

20 Febrero, 2013, 18:17
Respuesta #2

nanelito

  • Semi Pleno
  • ***
  • Mensajes: 126
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Ver Perfil