Autor Tema: Medida exterior de Lebesgue

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13 Febrero, 2013, 05:16 pm
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nanelito

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Ayuda para demostrar que dado \[ X\subset \mathbb{R} \] y \[ \epsilon > 0 \] existe un abierto \[ A \] tal que \[ X\subset A \] y \[ m(A) \leq m(X) + \epsilon \]; donde \[ m \] es la función de medida exterior de Lebesgue.

Título corregido: medida exterior de Lebesgue ---> Medida exterior de Lebesgue

13 Febrero, 2013, 08:45 pm
Respuesta #1

elias0612

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Hola nanelito para tu demostración tenemos que \[  X \] un conjunto elemental talque \[  X=\cup_{i=1}^n I_i \] donde los \[ I_i \] son intervalos disjuntos de \[ \mathbb{R} \]  dado  \[ \epsilon >0 \]  y para cada \[ i  \]con \[ 1\leq i\leq n \] existe un intervalo abierto \[  A_i \supset{I_i} \] tales que
\[  m(A_i)\leq \ m(I_i)+\frac{ \epsilon}{n} \] luego definimos a \[  A=\bigcup\limit_{i=1}^{n}{ A_i} \] también A es abierto dado que la unión finita de abiertos y también es elemental dado que es la unión finita  de conjuntos elementales y por lo tanto tenemos que
\[   m(A)\leq \sum_{i=1}^n{m(A_i)}\leq \sum_{i=1}^n{(m(I_i)+\frac{ \epsilon}{n})}=\sum_{i=1}^n{m(I_i)+ \epsilon}=m(X)+ \epsilon \]
y listo..

Saludos...

20 Febrero, 2013, 04:08 pm
Respuesta #2

nanelito

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