Autor Tema: Sea una circunferencia

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19 Febrero, 2013, 09:58 am
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Michel

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Sea una circunferencia de centro O.
Se trazan dos diámetros perpendiculares BC y MN.
En el arco MC se toma un punto A, que se une con B y con C.
Sea AO la mediana, AD la bisectriz y AH la altura del triángulo ABC.
a) Indicar la naturaleza del triángulo ABC. Precisar la posición del punto de la circunferencia por donde pasa la prolongación de AD. ¿Qué representa AD para el ángulo OAH?
b) Unir M con A. Encontrar dos triángulos semejantes al triángulo AHD.
c) Demostrar que AO/OD=AH/DH utilizando los resultados de a).
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

28 Febrero, 2013, 09:49 am
Respuesta #1

Michel

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a) El triángulo ABC es rectángulo en A, por ser BAC un ángulo inscrito en una semicircunferencia.
La prolongación de la bisectriz AD del ángulo BAC pasará por N, punto diametralmente opuesto a M, pues debe dividir al arco BNC en dos partes iguales.
Demostremos que AD es bisectriz del ángulo AOH:
áng ABO=áng BAO porque ABO es un triángulo isósceles.
áng ABO=áng HAC por tener sus lados perpendiculares
Entonces áng BAO=áng HAC, por lo que también serán iguales los ángulos OAD y DAH, resultando que AD también es bisectriz del ángulo OAH.

b) El triángulo ODN es semejante al AHD, por ser ambos rectángulos y tener además iguales los ángulos MNA y DAH por alternos internos.

c) Según el teorema de la bisectriz, la bisectriz AD del ángulo A del triángulo OAH divide al lado opuesto OH en dos segmentos OD y DH proporcionales a los lados AO y AH.
Por tanto: AU/OD=AH/DH
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker