Autor Tema: Grupo de Galois de un polinomio de grado cuatro

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12 Febrero, 2013, 01:58 am
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serpa

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Hola a todos. Quiero de alguna manera hallar el grupo de Galois del polinomio \( f=x^4+bx^2+c \), donde b,c son elementos del cuerpo de los racionales. Las raíces de f son:

\( u_1=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{-b + \sqrt[ ]{b^2-4c}}{2}},
 u_2=-u_1,
 u_3=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{-b - \sqrt[ ]{b^2-4c}}{2}}=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{b + \sqrt[ ]{b^2-4c}}{2}}i ,
 u_4=-u_3 \).

¿ALGUNA SUGERENCIA?

Lo que hé hecho hasta ahora es verlo por casos como por ejemplo cuando b=0 y \( c\neq{0} \); cuando c=0 y \( b\neq{0} \). Y ambos casos se dividen en subcasos según la forma que tenga la raíz en el mismo.

Cuando llego al caso \( b\neq{0}, c\neq{0} \), entonces lo divido en varios casos. Empecé por ver cuando c>0 y b>0 y es aqui donde me quedo.

Ahora lo que estoy tratando de ver es que condiciones se deben cumplir o en que casos f es irreducible. Cualquier aporte se les agradece.


Saludos

12 Febrero, 2013, 02:35 am
Respuesta #1

numbsoul

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Sea \( E \) el cuerpo de descomposición del polinomio;se tiene que \( E=\mathbb{Q}(u_{1},u_{3}) \).

Ahora,como \( u_{1}u_{3}=\pm \sqrt{c} \) (esto vale si \( b^{2}-4c>0 \)),podemos escribir,\( E=\mathbb{Q}(u_{1},\sqrt{c}) \).

Habrá que separar en los casos en que \( c \) es cuadrado y no es cuadrado en \( \mathbb{Q} \).



12 Febrero, 2013, 03:04 pm
Respuesta #2

serpa

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Hola numbsoul gracias por tu respuesta. Tengo una duda y es la siguiente:
 Puede \( \frac{-b + \sqrt[ ]{b^2-4c}}{2} \) ser un cuadrado perfecto en Q? Si la respuesta es si entonces habria que mirar en que casos \( \frac{-b + \sqrt[ ]{b^2-4c}}{2} \) es cuadrado perfecto ya que eso cambia el cuerpo de descomposición de f. ¿Que opinan ustedes?



Saludos

12 Febrero, 2013, 11:50 pm
Respuesta #3

numbsoul

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Mi sugerencia es que separes en cuatro casos,según \( b^{2}-4c \) y \( c \) sean o no cuadrados perfectos en \( \mathbb{Q} \)

Por ejemplo,en el caso en que ambos son cuadrados perfectos,se tiene que \( E=\mathbb{Q}(\sqrt{q}) \),donde \( q\in\mathbb{Q} \) (esto vale si \( b^{2}-4c>0 \)).El grupo de Galois será de orden \( 1 \) o \( 2 \).(habrá que ver si tan solo con las dos condiciones iniciales se puede determinar exactamente el orden)

13 Febrero, 2013, 04:17 pm
Respuesta #4

numbsoul

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Citar
Ahora lo que estoy tratando de ver es que condiciones se deben cumplir o en que casos f es irreducible.

Si \( \sqrt{b^{2}-4c}\notin\mathbb{Q} \),entonces \( f \) no tiene raíces racionales.
Comprueba también que si una bicuadrática se factoriza en factores primos irreducibles de grado \( 2 \) sobre \( \mathbb{Q} \),entonces el coeficiente independiente es cuadrado en \( \mathbb{Q} \) o el polinomio es de la forma \( (x^{2}+u)(x^{2}+v) \) con \( u,v\in\mathbb{Q} \) no cuadrados y \( u\neq v \).

Por lo tanto,si suponemos que \( b^{2}-4c \) y \( c \) no son cuadrados en \( \mathbb{Q} \),entonces \( f \) será irreducible sobre \( \mathbb{Q} \) (no es productos de polinomios de grado \( 2 \) porque \( (u+v)^{2}-4uv=u^{2}+v^{2}-2uv=(u-v)^{2}\in\mathbb{Q}^{2} \))

13 Febrero, 2013, 06:15 pm
Respuesta #5

numbsoul

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Si \( f \) es irreducible sobre \( \mathbb{Q} \),entonces no tiene raíces racionales.
Si fuera \( \sqrt{b^{2}-4c}\in\mathbb{Q} \),tendríamos una factorización de \( f \) en polinomios de grado \( 2 \),concretamente:

\( f=(x-u_{1})(x+u_{1})(x-u_{3})(x+u_{3})=(x^{2}-u_{1}^{2})(x^{2}-u_{3}^{2}) \).

Por lo tanto \( \sqrt{b^{2}-4c}\notin \mathbb{Q} \) en el caso en que \( f \) es irreducible.

15 Febrero, 2013, 05:15 am
Respuesta #6

serpa

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Muchas gracias por tus respuestas numbsoul me han ayudado mucho. Creo que ya estoy con ideas más claras sobre como avanzar. En cualquier otra cosa que me trabe volveré a escribir.

Un saludo

15 Febrero, 2013, 04:14 pm
Respuesta #7

numbsoul

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Quería corregir un pequeño error:la escritura del cuerpo de descomposición \( E=\mathbb{Q}(u_{1},\sqrt{c}) \) vale siempre (sin importar el signo de \( b^{2}-4c \)).

14 Junio, 2020, 12:52 pm
Respuesta #8

marinavzqz

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Hola, yo tengo el polinomio \( x^4-2x^2+2 \) y \( \sqrt  {b^2-4c}<0 \), ¿entonces no valdría todo lo que habéis puesto?
Gracias

14 Junio, 2020, 01:47 pm
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

Hola, yo tengo el polinomio \( x^4-2x^2+2 \) y \( \sqrt  {b^2-4c}<0 \), ¿entonces no valdría todo lo que habéis puesto?
Gracias

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