Autor Tema: Triángulo órtico

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13 Enero, 2013, 09:39 am
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Michel

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Probar que las alturas de un triángulo son las bisectrices de su triángulo órtico.

Triángulo órtico de un triángulo dado es el que tiene por vértices los pies de las alturas de aquél.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

19 Enero, 2013, 10:32 am
Respuesta #1

Michel

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Sea el triángulo ABC,  A’B’C’ su triángulo órtico y H el ortocentro del primero.

El cuadrilátero A’HB’C es inscriptible por tener suplementarios dos ángulos opuestos, B' y A’; por tanto son iguales los ángulos 1 y 2, por ser inscritos y abarcar el mismo arco HB'.

Igualmente se demuestra que los ángulos 3 y 4 son iguales.

Si áng 1 = áng 2 y áng 3 = áng 4, como el 2 y el 4 son iguales por ser ambos el complemento del ángulo A del triángulo dado, resulta que son iguales los ángulos 1 y 3. Por tanto la altura AA’ del triángulo ABC es la bisectriz del ángulo A’ de su triángulo órtico A’B’C’.

Análogamente se demuestra para las otras alturas.

Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker