Autor Tema: La esfera, superficie cerrada que encierra máximo volumen para superficie dada

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12 Enero, 2013, 08:18 pm
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Piockñec

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Es casi un axioma que todo el mundo acepta, que la esfera es la superficie cerrada que encierra el máximo volumen, para una superficie dada.
Y lo digo así, porque nadie parece tener la demostración, pero todos lo afirman. Encontré, sin embargo, tras mucho buscar, un foro en el que a una persona le ocurría lo mismo (con la diferencia de que era muchísimo mejor en mates que yo), y al final entre varios lograron demostrarlo, partiendo de que "toda superficie se puede expresar como suma de "armónicos"", y maximizando cada suma.

Me parece una demostración superbasta y avanzadísima para un concepto tan simple. ¿Alguien tiene alguna idea de cómo demostrarlo?
(nota: No tengo ni idea de qué es un armónico hahaha)

Es que me resulta interesantísimo, no ya esta demostración, sino cómo demostrar cosas por el estilo. No sólo "la geometría que tiene mayor relación Volumen/superficie", sino ya para ingeniería, definiendo otras funciones y maximizando geometrías para dichas funciones ;)
Pero antes... volumen y superficie hahaha

Mil gracias :D

14 Enero, 2013, 08:32 am
Respuesta #1

physlord

  • nonses fuf
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No lo he leido con detenimiento pero parece ser que en en el apéndice VI, página 174, del libro "The science of soap films and soap bubbles" [scribd en inglés] aparece una demostración. No es el caso general, usa solo cálculo elemental para el caso en que la superficie de la esfera es vista como una superficie de revolución.

Supongo que el problema se podría enunciar como una corolario del teorema de la doble burbuja, [pdf en inglés] para el caso en que una de las burbujas tiene volumen nulo. De cualquier manera, la demostración de éste último teorema no es para nada elemental, así que estamos como al principio jeje.

Revisa los enlaces, chance y te ayudan a tener una mejor visión del problema.

Saludos :D

14 Enero, 2013, 10:52 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

 El problema es un caso particular del llamado "Problema isoperiométrico": esencialmente en una variedad \( n \)-dimensional encontar la subvariedad \( (n-1) \)-dimensional de mayor \( n \)-volumen, fijado su \( (n-1) \)-volumen.

 En nuestro caso encontar en el espacio el la dos subvariedad (la superficie) de mayor \( 3 \)-volumen (volumen en el sentido clásico) fijada su \( 2 \)-volumen (su área en el sentido clásico).

 Tienes una visión general del problema aquí:

http://www.ugr.es/~aros/isoper.pdf

 El documento es algo técnico pero tiene una muy completa bibliografía donde puedes encontar visiones más clásicas del problema.

 Presenta una demostración bastante bonita en cuanto a la idea que usa del resultado, aunque se pasa en otros teoremas previos no elementales de probar.

 Hay que tener en cuenta que el problema equivale a fijado un volumen encontar la superficie de menor área. Si uno supone (y esto es más delicado de probar de lo que parece) que fijado un área existe una única superficie salvo isometrías que maximiza el volumen entonces el resumen del argumento es así:

 - Fijada una dirección cualquiera existe un plano perpendicular a la misma que corta a nuestra superficie en dos trozos de igual volumen.
 - Si nos quedamos con el trozo de menor superficie (o a lo sumo igual superficie), unido a su simétrico respecto al plano formaría una superficie de igual volumen pero menor área (o a lo sumo igual a la inicial).
 - Admitiendo la unicidad de solución esa nueva superficie debiera de ser igual a la de partida.
 - La conclusión es que la superficie que resuelve el problema isoperimétrico en el espacio es simétrica respecto a un cierto plano perpendicular a cualquier dirección.
 - De ahí es fácil probrar que la superficie es una esfera.

Saludos.

14 Enero, 2013, 08:58 pm
Respuesta #3

Piockñec

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Vaya, vaya!!! Bien hiciera en aprender lo de las n-variedades, que creo que es topología. Leeré el pdf con dedicación. ¡¡La demostración que has puesto es maravillosa!! hahaha :D Si así es en el pdf, sólo que más técnico, mejor, porque así aprendo lenguaje formal. Y sino, aún mejor porque tendré otra más ;)
¡Muchísimas gracias, el_manco!

Physford, gracias por los enlaces. Buscando en internet también encontré información relacionada con "burbujas", pero pensé que quien fuera estaba subiendo eso, se refería al modelo de burbujas del entramado metálico, no a matemáticas hahaha Muchas gracias, revisaré los pdf! :)