Autor Tema: Primero numerable, segundo numerable, separable

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14 Enero, 2013, 07:28 pm
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josepapaiii

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Sea el espacio \( \mathbb{R} \) (o conjuntos que contengan al 0). Topología: \( \{A \subseteq \mathbb{R}: 0 \in A\} \)

Obtenemos una base de entornos:

\( \mathfrak{B}_x=\{x,0\}, \forall x \in \mathbb{R}-\{0\} \), \( \mathfrak{B}_0=\{0\} \)

Para ver si es primero numerable, vemos si todo punto de \( \mathbb{R} \) tiene una base de entornos numerable.

Tanto para \( x \) como para el \( 0 \), tenemos una base de entornos numerable, por tanto, nuestro espacio es primero numerable.

Sea ahora la base de abiertos, \( \mathfrak{B}=\{\{x,0\},\{0\}, \forall x \in \mathbb{R}\} \)

¿Sería así una base de abiertos?

En caso afirmativo, se puede ver que no es segundo numerable, puesto que no puedo obtener una base de abiertos numerable.

¿Cómo podría estudiar si es separable?. Debo de buscar un subconjunto denso y numerable.

Un saludo.

14 Enero, 2013, 09:25 pm
Respuesta #1

lindeloff

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Hola! como estas? para ver que no es segundo numerable, una manera simple es

Si fuera segundo numerable, entonces por teorema es lindeloff, por lo tanto de todo cubrimiento por abiertos tendría un sub-cubrimiento numerable
pero el cubrimiento \( \{ \{0,x \} ,x \in \mathbb{R} \} \)  no puede tener un sub cubrimiento numerable, ya que si le sacas algún \( \{0, y \} \) ya no es un cubrimiento
por tanto no puede ser segundo numerable

Y para ver que es separable, un tener un conjunto denso, es equivalente a tener un conjunto que interseque a todos los abiertos de la topología, si no ves esa demostración avisanos, pero se prueba que un \( A \) denso en \( \tau \Longleftrightarrow{} \) \( A\cap{U}\neq{\emptyset} ; \forall \ U\in \tau \)
Luego con esa equivalencia es fácil ver que un conjunto que interseca a todos los abiertos de la topología es \( \{ 0 \} \), ya que todos los abiertos de la topología están obligados a tener al \( 0 \)
Entonces \( \{0 \} \) es tu conjunto denso y numerable

Este es un ejemplo de una topología que es separable pero no es segundo numerable
por tanto separable \( \not\Longrightarrow{} \) segundo numerable
para que esa implicancia sea cierta se necesita una estructura de espacio métrico, es decir en espacios métricos si es cierto

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