Bueno, la demostracion es muy sencilla y se la debemos a Cramer.
Primero vamos a asumir que conocemos "La desigualdad isoperimetrica", que nos dice que de entre todas las figuras de perimetro dado la que encierra la mayor area es la circunferencia.
Ahora, supongamos que el enunciado es falso, o sea tenemos un poligono P de area maxima, que no esta inscripto en una circunferencia.
Por otro lado si nos construimos el poligono P' inscripto en una circunferencia con los mismos lados (esto se puede hacer pero habria que demostrarlo). Sea C esta cicunferencia. Ahora por cada lado de P' tomamos la parte de circunferencia que le corresponde y lo pegamos a P, vamos a obtener una figura F que tiene el mismo perimetro que C.
Segun nuestra hipotesis el area de P es maximal o sea que esta figura F tiene area igual a C, y por la desigualdad isoperimetrica C es maximal, luego P tiene que estar inscripto en una circunferencia, absurdo por hipotesis P no esta inscripto en una circunferencia.
La demostracion, esta mejor explicada y con dibujos en un libro de Sadosky, sobre analisis. No recuerdo el titulo pero no bien me acuerdo lo escribo aqui.
