[athair]

Hola, tengo el siguiente ejemplo de cambio de base y coordenadas en \( R_2 \), en el cual no logro llegar a la conclusión esperada, por lo cual me pregunto si estaré haciendo algo mal.

1-Tomo en \( R_2 \) la base inicial como \( (2, 1); (5, 7) \) y aplicaré la matriz de cambio de base siguiente \( \begin{bmatrix}1&3\\4&2\end{bmatrix} \), cuya inversa es \( \begin{bmatrix}\frac{-1}{5}&\frac{3}{10}\\\frac{2}{5}&\frac{-1}{10}\end{bmatrix} \).

2-Puesto que quiero operar con el vector \( (3, 2) \), calculo las coordenadas del mismo en la base inicial, lo que da \( (\frac{11}{9}, \frac{1}{9}) \), es decir \( (3, 2)=\frac{11}{9}(2, 1)+\frac{1}{9}(5, 7) \).

3-Al aplicar la matriz de cambio de base a los vectores de la base inicial, ello resulta en los siguiente nuevos vectores:\( (6, 8); (33, 29) \).

Luego, intento multiplicar las coordenadas  \( (\frac{11}{9}, \frac{1}{9}) \) por la matriz inversa dada en 1, para ver si las nuevas coordenadas resultantes, aplicadas a la nueva base son iguales al vector \( (3, 2) \), pero aquí el procedimiento falla.

Si alguien se diera cuenta dónde está el error en este desarrollo y me lo indicara, sería muy (pero muy) amable. Muchas gracias!

[filomates]

Hola.
Para poder ayudarte, tienes que poner en el mensaje el enunciado del problema que estás resolviendo, para ver si los pasos que has dado son o no son correctos.
En concreto, no me aclaro si (3,2) está dado en la base canónica o en la base inicial, ya que si son coordenadas en la base inicial, no se trata de \(   ( \displaystyle\frac{11}{9} , \displaystyle\frac{1}{9} )  \) sino de \(  3(2,1)+2(5,7)  \)
En todo caso, necesito leer el enunciado que estás resolviendo.
Gracias.
Hasta pronto.

[athair]

Gracias por la respuesta!! El "ejercicio" ha sido inventado por mí, siguiendo el siguiente camino:

-Tomé un ejemplo de un libro de Birkhoff, que usa una matriz 2x2 para un cambio de base aplicado a la base canónica (vectores unitarios \( e_1; e_2 \)).



-Luego, elegí una base cualquiera (la base \( (2, 1); (5, 7) \)) y quise replicar el procedimiento.

-Para ello, elegí un vector (de coordenadas) cualquiera, como \( (3, 2) \).

-En primer lugar, traté de proceder como si las coordenadas del vector \( (3, 2) \) fueran propias de la base \( (2, 1); (5, 7) \); pero al aplicar la matriz dada a los vectores de la base, por un lado; y su inversa, a las coordenadas en cuestión, no obtenía la igualdad.

-Entonces, se me ocurrió que las coordenadas de \( (3, 2) \) en la base \( (2, 1); (5, 7) \) debían ser otras: allí llegué a las que he escrito como \( (11/9, 1/9) \). Pero aquí tampoco llegaba a la igualdad.



Entonces, me preguntaba (y pregunto) cuál podría ser la "salvedad" (ó reparo/arreglo) que habría que hacer para lograr la igualdad, cuando en vez de usar la base canónica como base inicial, se usa una base cualquiera.

Tal vez, se me ocurre, habría que usar en ambos momentos (antes del cambio de base y después) alguna relación con la base canónica, pero no lo he probado todavía...

Bueno, muchas gracias (cualquier sugerencia me servirá...)! un saludo!

[Luis Fuentes]

Hola

1-Tomo en \( R_2 \) la base inicial como \( (2, 1); (5, 7) \) y aplicaré la matriz de cambio de base siguiente \( \begin{bmatrix}1&3\\4&2\end{bmatrix} \), cuya inversa es \( \begin{bmatrix}\frac{-1}{5}&\frac{3}{10}\\\frac{2}{5}&\frac{-1}{10}\end{bmatrix} \).

El planteamiento ya está mal desde el principio.

Cuando dices que aplicas una matriz da cambio de base... ¿entre qué bases?. Para hablar de matiz de cambio de base hacen falta fijar dos bases. En tu caso hablas de una sola base.

Saludos.

[athair]

Gracias filomates y gracias el_manco!!!

Según la última observación, he cambiado el procedimiento y he llegado a una derivación correcta.

A la base inicial \( \epsilon_1=(2, 1);\epsilon_2= (5, 7) \), le he agregado la siguiente base: \( \alpha_1=3\epsilon_1+1\epsilon_2; \alpha_2=4\epsilon_1+3\epsilon_2 \).

Después de "despejar" \( \epsilon_1 y \epsilon_2 \) en términos de los vectores de la base inicial, queda:

\( \epsilon_1=\frac{19}{15}\alpha_1+-\frac{3}{15}\alpha_2 \) y
\( \epsilon_2=-\frac{4}{5}\alpha_1+\frac{3}{5}\alpha_2 \).

Reemplazando en la expresion: \( \frac{11}{9}(2, 1)+\frac{1}{9}(5, 7) \) para el vector (3, 2) en la base inicial, las expresiones anteriores, se llega a: \( (3, 2)=\frac{198}{135}\alpha_1+\frac{24}{135}\alpha_2 \).

No he realizado la inversión de la matriz usada en el cambio de base, ni por ende lo demás, pero supongo que el procedimiento es correcto.

Aprovecho la ocasión para preguntar otra cosa que ayer creí comprender mejor que antes (pero aún insuficientemente):

-Si en un plano proyectivo tengo un haz de 3 rectas formado por cuatro puntos proyectivos (uno de los cuales dá el vértice O del haz), cuaterna de puntos que, hasta donde comprendo no es la misma que aquella que define la base en el plano en cuestión, la pregunta es: para obtener un segundo haz de rectas, homólogo del primero, se debe aplicar una matriz 3x3 (una colineación del plano proyectivo) tal que aplique, cada punto de los 4 que definen el haz, en un nuevo punto (de modo que los 4 puntos imágenes definan un nuevo haz...)?

Bueno, ampliamente agradecido por todo esto!!!! Un saludo!!