[xxx_jack_xxx]

Pregunta: ¿con qué velocidad cae cuando la masa m1 llega al piso?


donde k=1N/m
I=0,8 kg m^2
y además que parte del reposo
pide por 2 métodos
1)utilizando conceptos energéticos
2)usando dinámica

Bueno usando energía es facil, porque se da que la energía mecánica se conserva porque no hay fuerzas no conservativas, es decir todas las fuerzas son conservativas, así tomando como el 0 de energia potencial tenemos que


\( \frac{1}{2} k x^2-mgh+\frac{1}{2} mv^2+\frac{1}{2}I\omega^2=0 \)


como
\( \omega=v/r \)
reemplazando en la ecuación anterior y despejando v nos queda

\( v=\sqrt{\frac{mgh-\frac{1}{2}kx^2}{\frac{1}{2}m+\frac{I}{2R}}} \)


para la 2º parte no me sale; primero arranco con el diagrama de cuerpo libre, pero tengo la duda para el lado del resorte.




Bueno arrancamos como lo plantie planteé yo:

Para la polea (considero signo positivo como el horario, es decir para donde cae), posee dos fuerzas que producen un torque neto alrededor de su eje; así queda:


\( RT_{1}-RT_{2}=I\alpha \)

por ley de hook \( T_{2}=-kx \)

para m1 es fácil pues es

\( P-T_1=ma \)

combino todas las ecuaciones anteriores y llego a que la aceleración es

\( a=\frac {p-kx}{\frac{I}{R^2}+m} \)


y luego saco la velocidad final usando cinemática; ahora la pregunta es: ¿está bien así resuelto? No me importa si resolví mal el sistema de ecuaciones, lo que me interesa saber es si desde donde parto está bien, más que nada en la 2º parte que es la que más me cuesta.

Gracias de antemano, si existe la forma de dar 10 puntos o calificar, avisen así puntúo.


Título corregido: duda con diagrama de cuerpo libre para un problema de torques ---> Duda con diagrama de cuerpo libre para un problema de torques

Por favor, cuida la ortografía.

[JCB]

Hola a tod@s.

1) Considerando la posición inicial de la masa, como referencia \( 0 \) de la energía potencial gravitatoria y como referencia \( 0 \) de la energía potencial elástica (el muelle no está estirado ni comprimido), la energía mecánica inicial es \( 0 \) (por lo que la energía mecánica final también será \( 0 \)). Cuando la masa llegue al suelo, habrá recorrido una distancia \( h \), igual a la longitud que se habrá estirado el muelle. La energía mecánica cuando la masa llega al suelo es

\( -mgh+\dfrac{1}{2}kh^2+\dfrac{1}{2}I\omega^2+\dfrac{1}{2}mv^2 \). Igualando,

\( -mgh+\dfrac{1}{2}kh^2+\dfrac{1}{2}I\omega^2+\dfrac{1}{2}mv^2=0 \) (1)

Si la cuerda no desliza respecto de la polea, \( \omega=\dfrac{v}{R} \). Sustituyendo en (1) y despejando \( v \),

\( v=\sqrt{\dfrac{2mgh-kh^2}{\dfrac{I}{R^2}+m}} \) (2)

Como casi siempre, el método energético es muy inmediato.

2) El método dinámico es algo más laborioso.

Dinámica de rotación aplicada a la polea:

\( \sum{M}=I\alpha \). Al no haber deslizamiento de la cuerda con la polea, \( \alpha=\dfrac{a}{R} \)

\( -T_2R+T_1R=I\dfrac{a}{R} \) (3)

Segunda ley aplicada a la masa:

\( \sum{F}=ma \)

\( T_1-mg=-ma \)

\( T_1=mg-ma \) (4)

Para el muelle, considero \( T_2=ky \) (5). Sustituyendo (4) y (5) en (3),

\( a=\dfrac{mg-ky}{\dfrac{I}{R^2}+m}=\dfrac{dv}{dy}\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dv}{dy}v \)

\( vdv=\dfrac{mg-ky}{\dfrac{I}{R^2}+m}dy \)

Integrando \( v \) entre \( 0 \) y \( v \), e \( y \) entre \( 0 \) e \( y \),

\( v(y)=\sqrt{\dfrac{2mgy-ky^2}{\dfrac{I}{R^2}+m}} \)

Para el caso particular de \( y=h \),

\( v(y=h)= \sqrt{\dfrac{2mgh-kh^2}{\dfrac{I}{R^2}+m}} \)

Expresión coincidente con la (2).

Nota: inicialmente había cometido el error de aplicar \( v=\sqrt{2ah} \). Después me di cuenta de que no se puede aplicar porque \( a \) no es constante.

Saludos cordiales,
JCB.