Autor Tema: Mecánica clásica, duda sobre la coherencia matemática en teoría sólido rígido.

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09 Noviembre, 2012, 11:08 pm
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Hasclepio

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Hola

Pongo aquí este hilo porque me consta que el foro tiene excelentes matemáticos que seguro (espero  :)) se habrán preguntado esto alguna vez o me pueden indicar dónde fallo en mi razonamiento.

Contextualizo un poco: para definir la velocidad de los puntos de un sólido rígido, se "demuestra" en mecánica clásica que \( \mathbf{v}_{B}=\mathbf{v}_{A}+\omega\times\overline{AB} \).

La demostración la hacen del siguiente modo: suponen una referencia cartesiana que definen como fija \( R_f=\{O,e_1,e_2,e_3\} \) y otra referencia ligada al sólido \( R_m=\{O_1,e'_1,e'_2,e'_3\} \) rígido que definen como móvil (si el sólido se mueve, evidentemente, está fija al sólido).

Después, un punto perteneciente al sólido definido como P, tiene dos radiovectores: respecto de \( R_1 \) y respecto a \( R_2 \). Bien, por ahora lo veo normal.

Y ahora ya empiezo a perderme, ahora relacionan los dos "triedros", el móvil expresado con \( R_2 \) y el fijo con \( R_1 \) del siguiente modo: \( \overline{OP}= \overline{OO_1}+ \overline{O_1P} \)

La primera duda que tengo es ¿cómo es que suma \( \overline{OO_1} \) con\(  \overline{O_1P} \) si ambos están expresados en referencias diferentes (el primero en \( R_1 \) y el segundo en \( R_2 \))?  ??? No lo entiendo ¿eso se puede hacer? es decir ¿se pueden sumar coordenadas de vectores en diferentes bases así? No entiendo este paso, por favor.

Y por último (consecuencia de lo anterior) se llega a la expresión que relaciona las velocidades del sólido... pero vuelvo a perderme respecto a quién son esas velocidades... respecto a qué triedro de referencia (es que no veo que los libros lo expliquen). ¿Es decir esas velocidades están referidas al triedro fijo?

Un saludo y muchísimas gracias

10 Noviembre, 2012, 12:56 am
Respuesta #1

Capitan Trueno

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En tu primera duda deberías exponer más detalles del desarrollo pero una cosa te puedo decir, la suma:

\( \overline{OP}= \overline{OO_1}+ \overline{O_1P} \)

no implica necesariamente que esos vectores estén expresados de determinada forma, es simplemente la suma de dos vectores perfectamente definidos en cualquiera de los dos sistemas de referencia, utiliza el que más te guste, pero para sumar dos vectores correctamente ambos deben expresarse en el mismo sistema de referencia, de eso no hay duda, aunque sospecho que el desarrollo está bién hecho y simplemente ocurre que no lo has entendido.

En cuanto a tu segunda duda tan solo una pregunta... ¿como es posible que los puntos del sólido rígido se muevan respecto al triedro móvil? Eso no puede ocurrir, los puntos del sólido rígido están fijos siempre respecto de cualquier triedro solidario con él. ¡Por supuesto que las velocidades están referidas al triedro fijo porque dichas velocidades referidas al triedro móvil son necesariamente nulas! Si eso no fuera así el cuerpo en movimiento no sería un sólido rígido sino un fluido y además sería bastante complicado definir una referencia solidaria con él si cada punto se está moviendo respecto de los demás. Los puntos de un sólido rígido mantienen siempre entre ellos la misma posición relativa y en consecuencia definen perfectamente al menos un sistema de referencia solidario con él. Esa es precisamente la propiedad fundamental de los sólidos rígidos y la que los caracteriza, que es la de que son cuerpos indeformables. No son elásticos, ni plásticos, ni fluidos, son simplemente rígidos.   ???  ::)

Salu2

10 Noviembre, 2012, 04:13 am
Respuesta #2

Hasclepio

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Hola

Sobre la primera pregunta no puedo aportar más información porque eso es todo lo que ponen, si acaso un dibujo con dos ejes que veo redundante incluir. Simplemente dos sistemas de referencia cartesianos, uno ligado al sólido y otro exterior a él, fijo. Desde ahí hacen esa suma, y no entiendo cómo pueden hacerla si ambos vectores están definidos en referencias distintas: una se mueve y otra no  ??? Evidentemente si están todos esos vectores referidos al sistema fijo acabáramos... pero es que lo veo muy mal explicado. Yo no he escrito que esté mal lo que figura en esos libros, simplemente que no comprendo cómo suman vectores así, por eso os pregunto, si estuviera mal o fuera una errata  miraba otro libro y punto!

Sobre la segunda parte, tienes razón en eso... si es un sólido verían ambas velocidades nulas puesto están "rígidamente" unidas al sistema de referencia y se mueven con él, no obstante esta misma demostración se usa para partículas en donde no hay sólido, por eso lo pregunté.

Muchas gracias

10 Noviembre, 2012, 04:39 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Sobre la primera pregunta no puedo aportar más información porque eso es todo lo que ponen, si acaso un dibujo con dos ejes que veo redundante incluir. Simplemente dos sistemas de referencia cartesianos, uno ligado al sólido y otro exterior a él, fijo. Desde ahí hacen esa suma, y no entiendo cómo pueden hacerla si ambos vectores están definidos en referencias distintas: una se mueve y otra no  ??? Evidentemente si están todos esos vectores referidos al sistema fijo acabáramos... pero es que lo veo muy mal explicado. Yo no he escrito que esté mal lo que figura en esos libros, simplemente que no comprendo cómo suman vectores así, por eso os pregunto, si estuviera mal o fuera una errata  miraba otro libro y punto!

Pero ya te ha contestado Capitán Trueno.

\( \overline{OP} \) es el vector del espacio que une los puntos \( O \) y \( P \) (independientemente si a la hora de hacer "cuentas" lo expresamos en tal ó cual base).

Lo mismo con los otros dos vectores.

Entonces la expresión:

\( \overline{OP}= \overline{OO_1}+ \overline{O_1P} \)

simplemente indica una relación entre tres vectores del espacio (tiene sentido sumarlos porque el espacio tiene estrucura de espacio vectorial). En esa relación no está explícitado ningún sistema de referencia.

A la hora de hacer "las cuentas" es cuando uno ha de tener cuidado y operar con coordenadas expresadas todas ellas respecto de la misma base.

Saludos.

10 Noviembre, 2012, 05:14 pm
Respuesta #4

Hasclepio

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Pero a ver, es que lo mismo me estoy liando. Un vector por sí mismo no tiene sentido geométrico  ??? Es la geometría afín la que establece una biyección y aclara todo lo de puntos y vectores, pero antes se ha tenido que  fijar una base y un  origen, es decir una referencia \( \mathcal{R}=\{O;\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\} \)

Esa suma de vectores evidentemente sí tiene sentido como elementos del mismo espacio vectorial, pero carecería de sentido geométrico (que no se sabría lo que indica). Sin embargo, teniendo en cuenta dos sistemas de referencia, con orígenes diferentes \( \mathcal{R}_f=\{O;\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\} \) y \( \mathcal{R}_{mov}=\{O';\mathbf{e}'_1,\mathbf{e}'_2,\mathbf{e}'_3\} \), hacen que \( \overline{OP},\overline{OO'}\in\mathcal{R}_f \)  y \( \overline{O'P}\in\mathcal{R}_{mov} \) y luego suman vectores de las distintas referencias dándome carácter geométrico, es decir la Relación de Chasles:

\( \overline{OP}= \overline{OO'}+ \overline{O'P} \)

¿Esto se puede hacer? Por aquí viene mi duda, muchas gracias.


10 Noviembre, 2012, 05:22 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Pero a ver, es que lo mismo me estoy liando. Un vector por sí mismo no tiene sentido geométrico  ??? Es la geometría afín la que establece una biyección y aclara todo lo de puntos y vectores, pero antes se ha tenido que  fijar una base y un  origen, es decir una referencia \( \mathcal{R}=\{O;\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\} \)

No. Esto no es así. Para hablar de geometría afín y para ser esa biyección no hace falta fijar para nada una referencia. De hecho no tiene sentido hablar de referencia si no podemos manejar vectores de manera previa ya que una referencia precisamente fijas tres vectores linealmente independientes.

Si tienes un espacio vectorial \( V \) hay siempre una forma natural de dotarlo de estructura de espacio afín \( E=V \) mediante la aplicación:

\( E\times E\longrightarrow{}V \)

\( (u,v)\longrightarrow{}v-u \)

de manera que conjuntistamente \( E=V \), pero los elementos de \( E \) están representando puntos mientras que el vector que los une (definido con la relación anterior) está propiamente representando un vector.

Uno puede hacer está construcción en \( R^3 \) sin hablar para nada ni de referencias ni de bases.

Saludos.

10 Noviembre, 2012, 05:37 pm
Respuesta #6

Hasclepio

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Es decir, si lo  he entendido bien, quieres decir que el espacio ya está caracterizado por puntos de E y que a cada par de puntos se le asocia un vector (consecuencia de esa aplicación).

Entonces, dados dos puntos del espacio (físico, "no matemático") y consecuencia de la aplicación, se les asocia un vector (que no coordenadas de un vector). Luego (y de forma opcional) puedo expresar este vector en la base que me dé la gana (siempre y cuando cumpla los requisitos) pero el vector seguirá siendo el mismo, es decir, es algo absoluto e independiente.

Luego en esa relación, usan esto que me comentas y después ya fijan la referencia como les apetezca ¿no?

Es que en los libros de física hablan de vector ligado a un sistema de referencia y esto me llevó a pensar o deducir que estaba refiriéndose a las coordenadas de ese vector, que luego sumaría. Es que no suelen aclarar estas cosas los libros de física (equiparan componentes y coordenadas continuamente y me arman un cacao mental importante).

Gracias

10 Noviembre, 2012, 06:24 pm
Respuesta #7

Capitan Trueno

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Solo un consejo Hasclepio, que por supuesto eres muy dueño de apreciarlo en lo que consideres y seguirlo si así lo estimas, pero te lo daré. Si no cambias tu mentalidad a la hora de estudiar física vas a sufrir mucho mientras duren tus estudios, puedes estar seguro de ello. Los conceptos matemáticos para los físicos son herramientas que se usan si valen y se tiran si no, debes valorar en grado sumo los conceptos físicos, que son los que interesan, y usar las matemáticas como herramienta, solo como una herramienta.

Salu2

10 Noviembre, 2012, 07:02 pm
Respuesta #8

Hasclepio

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Solo un consejo Hasclepio, que por supuesto eres muy dueño de apreciarlo en lo que consideres y seguirlo si así lo estimas, pero te lo daré. Si no cambias tu mentalidad a la hora de estudiar física vas a sufrir mucho mientras duren tus estudios, puedes estar seguro de ello. Los conceptos matemáticos para los físicos son herramientas que se usan si valen y se tiran si no, debes valorar en grado sumo los conceptos físicos, que son los que interesan, y usar las matemáticas como herramienta, solo como una herramienta.

Salu2

No entiendo qué tiene que ver esto con el hilo, de verdad  ???. Independientemente de si se tienen que usar o no esas herramientas -como las llamas- hay que entenderlas y eso es lo que estoy haciendo. Que la Física se sirva de las matemáticas para llegar a resultados no exime de entender cómo las usan los físicos.

Por lo que a mí concierne pienso seguir parándome en todos y cada uno de los detalles que me parezcan ambiguos. Sé que me podría aprender de memoria esa "fórmula" y ponerme a hacer problemas como un loco, pero no estaría más que memorizando algoritmos o esquemas de resolución de problemas y eso siempre me pareció para tontos.

No me gusta ser presuntuoso y pretendo no serlo pero con toda sinceridad te expreso que no es la primera ni segunda vez que soy de las únicas personas de una clase de más de 80 que entiende y tiene que explicar a compañeros lo que el profesor o el libro de física tiene, todo esto sin ser más inteligente que los demás y como consecuencia de que me gustan las matemáticas. Estas cosas que pregunto, aparentemente "chorradas" para muchos, a mí me aportan mucho.

Temas como Análisis de Fourier o Ecuaciones Diferenciales, sin matemáticas puedes llegar a auténticos disparates que en la vida real podrían costar muy caros tanto en vidas como en dinero.

10 Noviembre, 2012, 07:09 pm
Respuesta #9

Capitan Trueno

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Ya te dije, eres muy dueño de apreciarlo y seguirlo, pero nadie te obliga, por supuesto. Tan solo fue un consejo de alguien que ya pasó por donde tu estás ahora.

Salu2

10 Noviembre, 2012, 10:13 pm
Respuesta #10

Hasclepio

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Por favor, yo esto sigo sin entenderlo  ???

Vamos a ver, cito textual y literalmente de un libro de Mecánica de 2º de ICCP:

Consideremos un sistema de referencia inercial \( \mathcal{R}_f=\{O_0;\mathbf{E}_1,\mathbf{E}_2,\mathbf{E}_3\} \) (fijo) y otro móvil \( \mathcal{R}_m=\{O;\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\} \) ligado al sólido. El vector posición de un punto material cualquiera del sólido respecto de \( \mathcal{R}_f \) es \(  \mathbf{r} \) y respecto de \( \mathcal{R}_m \) lo denominaremos \( \mathbf{\rho} \). La relación entre los dos vectores posición es: \( \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+ \mathbf{\rho} \)

A ver, yo esto no lo entiendo  ???. Ahí me hablan de vector posición y eso (según yo he estudiado) implica que hay una base y un origen respecto al que se expresa ese vector. Aquí definen dos referencias y dos radiovectores... ¿y los suman? no lo entiendo, pero si están en bases diferentes, una hasta se mueve lo que quiere decir que en cada instante varía (en general).

Según lo que (creo) dice El Manco y atendiendo a la definición conjuntista... simplemente está relacionando dos tres puntos mediante la relación de Chasles, y de ahí surgirán vectores (sin ligarse a ninguna base), pero sigo sin verlo.

Es que no comprendo lo que se hace. También, yéndonos a otro ejemplo, en el espacio (físico) definían un vector fijo a un sólido-rígido (este sólido se mueve), fijan una referencia en el sólido, unida a él, entonces expresaban ese vector en esa referencia, pero es que realmente esto no es cierto, porque al moverse el sólido -en general- en cada instante habrá una tríada distinta de vectores que serán base  ???, de hecho las derivan (que se llega a un tensor antisimétrico que finalmente lo asocian con un producto vectorial llamándolo vector de "rotación" del sólido).

Es decir, por lo que veo consideran dos referencias, una fija, y la otra móvil (porque varían sus vectores de base en cada instante), y empiezan a expresar vectores en estas referencias sin indicarlo y te las tienes que ver y desear para entenderlo.

Si por favor me podéis poner algún ejemplo aunque fuera os lo agradecería.

10 Noviembre, 2012, 10:31 pm
Respuesta #11

Luis Fuentes

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Hola

 Pero vamos a ver:

 1) Fijados dos puntos en el espacio tienes un vector.

 2) Ahora fijado un vector y una base ese vector puede ser expresado como combinación lineal de los elementos de la base, y es entonces cuando hablamos de las coordenadas del vector respecto a la base.

 Entonces un vector de posición no es más que el vector que une el punto que donde se encuentra el objeto con el punto que hemos fijado como origen; esto no depende de ninguna base: sólo de los dos puntos que intervienen.

 Al expresarte vuelves a presuponer que al hablar de un vector determinado por dos puntos, se tiene que estar fijando implícitamente en que base está expresado ese vector. ¡No!. Eso sólo se hace si hablamos de las coordenadas del vector y no del vector.

 Es como si digo:

 Etapa 1- De Coruña a Madrid mi vuelo dura una hora.
 Etapa 2- En el aeropuerto de Madrid esperaré 50 minutos por el siguiente vuelo.
 Etapa 3- De Madrid a Mallorca mi vuelo dura 3000 segundos.

 Y ahora la afirmación:

 - El tiempo total de duración del viaje es la suma  de los tiempos de las Etapas 1,2 y 3.

 ¿Es falsa esa afirmación por el hecho de que esos tiempos estén dados en distintas unidades? No. Simplememente a la hora de hacer las cuentas tendré que pasarlos a la misma unidad.

 Ante todo tengo curiosidad por si intuitivamente (más allá del formalismo) y sin más que hacer un dibujo, ¿no ves lógica la relación que te dan en los tres vectores?.

Saludos.

11 Noviembre, 2012, 12:55 am
Respuesta #12

Hasclepio

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Hola

 Pero vamos a ver:

 1) Fijados dos puntos en el espacio tienes un vector.

 2) Ahora fijado un vector y una base ese vector puede ser expresado como combinación lineal de los elementos de la base, y es entonces cuando hablamos de las coordenadas del vector respecto a la base.

 Entonces un vector de posición no es más que el vector que une el punto que donde se encuentra el objeto con el punto que hemos fijado como origen; esto no depende de ninguna base: sólo de los dos puntos que intervienen.

 Al expresarte vuelves a presuponer que al hablar de un vector determinado por dos puntos, se tiene que estar fijando implícitamente en que base está expresado ese vector. ¡No!. Eso sólo se hace si hablamos de las coordenadas del vector y no del vector.

 Es como si digo:

 Etapa 1- De Coruña a Madrid mi vuelo dura una hora.
 Etapa 2- En el aeropuerto de Madrid esperaré 50 minutos por el siguiente vuelo.
 Etapa 3- De Madrid a Mallorca mi vuelo dura 3000 segundos.

 

Sí, si esto lo entiendo. O eso  me parece.

Cita de: El Manco
Y ahora la afirmación:

 - El tiempo total de duración del viaje es la suma  de los tiempos de las Etapas 1,2 y 3.

 ¿Es falsa esa afirmación por el hecho de que esos tiempos estén dados en distintas unidades? No. Simplememente a la hora de hacer las cuentas tendré que pasarlos a la misma unidad.

 Ante todo tengo curiosidad por si intuitivamente (más allá del formalismo) y sin más que hacer un dibujo, ¿no ves lógica la relación que te dan en los tres vectores?.

Saludos.

Claro El Manco, pero si miras la definición que me dan están nombrando (ellos, yo no) a dos referencias, cada una con distintas bases y de cada origen respectivamente "tiran" un vector que llega hasta otro punto. Eso me induce pensar que están usando las coordenadas de esos vectores en esas dos bases, de hecho ponen entre paréntesis el vector dando a entender que está en una u otra referencia y después los suman  ???, esto es lo que no entiendo.

Tú me dices que, muy bien, como si dicen que llueve Coca Cola, que antes de expresarlos en esas referencias son vectores y que la igualdad de esos tres vectores es independiente de las bases que después defina, esto lo entiendo (por supuesto), pero si quiero operar con coordenadas tendrán que estar todos en la misma base. Por esto me estoy liando ¿para qué me dan entonces esas dos referencias (una móvil y otra "fija"). Lo lógico es definirlo como tú haces, sin nombrarlas y después decir: vale, ahora vamos a ver cómo varía el vector OP referido a la base ligada al sólido o a la fija.

Es que me dicen lo siguiente: vectores de posición \( (\mathbf{r},\mathbf{\rho}) \) en las referencias fija \( \mathcal{R}_f \) y móvil \(  \mathcal{R}_m \) respectivamente. Luego ponen esto \( \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+ \mathbf{\rho} \)

Yo lo que interpreto ahí (corrígeme si me equivoco) es que está usando coordenadas y que ha expresado cada vector en sendas bases, y luego las suma. Distinto sería que no me nombrara esas referencias y me dijera: el punto P se expresa como suma de estos dos vectores (y ya los expreso yo en la base que me convenga o al problema). No sé si me explico.

Muchas gracias

11 Noviembre, 2012, 10:34 pm
Respuesta #13

Luis Fuentes

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Hola

Yo lo que interpreto ahí (corrígeme si me equivoco) es que está usando coordenadas y que ha expresado cada vector en sendas bases, y luego las suma. Distinto sería que no me nombrara esas referencias y me dijera: el punto P se expresa como suma de estos dos vectores (y ya los expreso yo en la base que me convenga o al problema). No sé si me explico.

Pero vamos a ver, cómo está claro que no se pueden sumar coordenadas de vectores respecto a distintas bases (en el mismo sentido que no se pueden sumar segundos más minutos sin anter pasar todo a las mismas unidades); está claro por tanto que aunque el libro fuese confuso en su notación ahí se está refiriendo a la suma de vectores (independientemente de en la base que los expresemos los vectores son los que son).

Entonces desde mi punto de vista ahora debieras de decir: de acuerdo entiendo que es eso lo que quiere decir esa expresión; voy a continuar con ese prisma analizando el resto del desarrollo a ver si encuentro alguna incoherencia.

Yo no puedo juzgar lo coherente de la notación que usa el libro, porque no lo tengo delante.

Saludos.