[Robottero]

Si \( D \) es un disco cerrado  en el plano complejo, y sean \( f(z),\  g(z) \) analíticas en \( D \). Entonces el valor máximo de \( \mid f(z) \mid \ + \ \mid g(z)\mid  \) lo alcanza en algún punto de la frontera \( z_0 \) de \( D \).


¿Es esto inmediato del teorema del módulo máximo? Me parece que sí, aunque se me hace que es tan inmediato que posiblemente estoy mal...

¿Cómo harían ustedes el argumento?

[Luis Fuentes]

Hola

 Cuidado: sería inmediato si tuviese que probar que |f(z)+g(z)| alcanza el máximo en la frontera.

 Tu tienes que probarlo para |f(z)|+|g(z)|.

 Entonces tienes que trabajar un poco más.

 La idea es la siguiente:

 - Supón que el máximo se alcanza en el punto a. Escoge un complejo x de módulo 1 de manera que

f(a) y \( x\cdot g(a) \) tengan el mismo argumento (pensado como vectores de \( R^2 \) tengan la misma dirección y sentido, multiplicar por x es hacer un giro adecuado para que esto ocurra). Con eso conseguimos que en ese punto |f(a)+xg(a)|=|f(a)|+|g(a)|

 - Ahora aplica el principio del módulo máximo a la función f(z)+xg(z)

 - Ten en cuenta que:
 
 |f(z)+xg(z)|<=|f(z)|+|x||g(z)|=|f(z)|+|g(z)|

 pero

 |f(a)+xg(a)|=|f(a)|+|x||g(a)|=|f(a)|+|g(a)|

Saludos.

[Robottero]

Gracias el manco, ya decía yo que no podía ser tan directo !!