Autor Tema: Continuidad

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30 Abril, 2007, 02:46 am
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Leonardog

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Buenas, tengo la siguiente duda. Es un ejercicio de continuidad, la función es:

\( y(x) = \left |{\sqrt{x^2-1}}\right | \)

El argumento de la raíz es una simple parábola, que tiene valores no negativos para \( \left |{x}\right |\geq{1} \)

Ahora bien, la función es continua o no? Si me ajusto a las condiciones de continuidad la función las cumple para todo su dominio, incluso en x=1 o x=-1, donde un límite lateral no existe. Sin embargo, la función no es continua desde el punto de vista gráfico. En el intervalo donde \( \left |{x}\right |<{1} \) la función no está definida (en los R), por ende no pertenece al dominio así que no entraría en el analisis de continuidad.
Ahora bien, si la continuidad no se analiza en el dominio, me queda que casi todas las funciones son continuas! (exceptuando las funciones donde hay un salto finito, como la funcion signo). Es decir:
y=1/x es continua, ya que su dominio es R - {0}
\( y=\displaystyle\frac{x^2-1}{x-1} \) es continua, porque x=1 no pertenece al dominio, o tiene una discontinuidad evitable? Depende si excluyo a x=1 del dominio y del analisis de continuidad o no?
Para esto estoy basandome en \( \displaystyle\lim_{dx \to 0}{dy}=0 \)
No tengo conocimientos de topología, donde entiendo que hay una explicación mas general y sencilla.
Espero comentarios,
Salu2!



Hey, no le avisen a Bush que está usando números arábigos!!

30 Abril, 2007, 03:23 am
Respuesta #1

EnRlquE

  • Lathi
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Hola, primero hay que tener en cuenta que Una función \( f:X\rightarrow\mathbb{R} \), definida en el conjunto \( X\subset{\mathbb{R}} \), se dice que es continua en el punto \( a\in X \) (¡ojo que \( a \) tiene que estar en el dominio de la función, si no, no tiene sentido analizar la continuidad de la función en ese punto!) cuando, para todo \( \varepsilon>0 \), se puede obtener \( \delta>0 \) tal que \( x\in X \) y \( |x-a|<\delta \) impliquen \( |f(x)-f(a)|<\varepsilon \).

Y se dice que una función es continua, si es continua en cada punto de su "dominio".

De esto se puede ver con facilidad que tu función \( f:\mathbb{R}-(-1,1)\rightarrow\mathbb{R} \) dada por \( |\sqrt{x^{2}-1}| \) es continua; la función \( f:\mathbb{R}-\{1\}\rightarrow\mathbb{R} \) dada por

\( \displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1} \), también es continua

del mismo modo la función \( g:\mathbb{R}-\{0\}\rightarrow\mathbb{R} \) dada por \( g(x)=-1 \) si \( x<0 \) y \( g(x)=1 \) si \( x>0 \) es continua por definición (¡nota que cero no pertenece al dominio!)

asimismo puedes comprobar que la función \( h:\mathbb{R}-\{0\}\rightarrow\mathbb{R} \) dada por \( \displaystyle h(x)=\frac{1}{x} \) es continua.

Saludos.

30 Abril, 2007, 01:20 pm
Respuesta #2

Leonardog

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Entonces cuando se dice que hay una discontinuidad evitable? Según tenía entendido en \( f(x)=\displaystyle\frac{x^2-1}{x-1} \) era ese tipo de discontinuidad. Pero si x=1 no pertenece al dominio, entonces la función es continua. Si los puntos 'molestos' son los que dan las discontinuidades, y son esos mismos que saco del dominio, entonces no tengo discontinuidades...

Ya me hice lío...

Salu2,

Hey, no le avisen a Bush que está usando números arábigos!!

30 Abril, 2007, 01:48 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Ejemplo 1:

  La función:

\(   f_1:R-\{1\}\longrightarrow{}R \)

\(   f_1(x)=\displaystyle\frac{x^2-1}{x-1} \)


 es continua en \( R-\{1\} \). En 1 no tiene sentido preguntarse si es continua o no, porque el 1 no pertenece a su dominio.

 Ejemplo 2.

 La función:

\(   f_2:R\longrightarrow{}R \)

\(   f_2(x)=\left\{\begin{matrix} \displaystyle\frac{x^2-1}{x-1} & \mbox{ si }& x\neq 1\\0 & \mbox{si}& x=1\end{matrix} \right. \)

 No es continua en 1, porque el límite de la función en ese punto es 2 y no coincide con su valor (f(1)=0).

 Ejemplo 3.

 La función:

\(   f_3:R\longrightarrow{}R \)

\(   f_3(x)=\left\{\begin{matrix} \displaystyle\frac{x^2-1}{x-1} & \mbox{ si }& x\neq 1\\2 & \mbox{si}& x=1\end{matrix} \right. \)

 Sí es continua en 1, porque el límite de la función en ese punto es 2 y coincide con su valor (f(1)=2).

 Conclusiones.

 - No tiene sentido hablar de continuidad en 1 para la función \( f_1 \), porque el 1 no está en el dominio.

 - La discontinuidad que tenía la función \( f_2 \) en el punto 1 era evitable, porque podía "evitarse" modificando el valor de la función únicamente en ese punto.

 - Sí tiene sentido plantearse si la función \( f_1 \), puede extenderse de manera continua al punto 1. La respuesta en este caso es SI, y la solución es la función \( f_3 \).

 Ejemplo 4.

  La función:

\(   f_4:R-\{0\}\longrightarrow{}R \)

\(   f_4(x)=1/x \)

 es continua en \( R-\{0\} \). En 0 no tiene sentido preguntarse si es continua o no, porque el 0 no pertenece a su dominio.

 Ejemplo 5.

 La función:

\(   f_5:R\longrightarrow{}R \)

\(   f_5(x)=\left\{\begin{matrix} 1/x& \mbox{ si }& x\neq 0\\0 & \mbox{si}& x=0\end{matrix} \right. \)

 No es continua en 0, porque no tiene límite en 0 y por tanto no coincide con el valor de la función.

 Conclusiones:

- No tiene sentido hablar de continuidad en 0 para la función \( f_4 \), porque el 0 no está en el dominio.

 - Sí tiene sentido plantearse si la función \( f_4 \), puede extenderse de manera continua al punto 0. La respuesta en este caso es NO. Cualquier posible extensión, da una discontinuidad. Por eso estas NO son de tipo EVITABLE.

Saludos.

30 Abril, 2007, 04:23 pm
Respuesta #4

Leonardog

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Bien, gracias por sus respuestas. Redondeando entonces:
Supongamos que siempre me planteo la posiblidad de extender una función a continua, entonces está bien decir que \( f_1 \) tiene un punto de discontinuidad evitable, aún cuando tenga presente que \( x=1 \) este fuera del dominio?

O que \( f_4 \) es discontinua NO evitable, ya que no hay forma de modificar ligeramente esa función para hacerla continua? (aun teniendo en cuenta que 0 no pertenece al dominio.

Entiendo que si un valor no pertenece al dominio, no tiene sentido hacer mucho análisis en ese punto. Lo que pasa es que sino me quedan la mayoría de las funciones comunes como continuas. (cuando digo funciones comunes me refiero a las que no estan definidas por tramos por ejemplo).

Salu2,
Hey, no le avisen a Bush que está usando números arábigos!!

30 Abril, 2007, 04:50 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

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Supongamos que siempre me planteo la posiblidad de extender una función a continua, entonces está bien decir que  tiene un punto de discontinuidad evitable, aún cuando tenga presente que  este fuera del dominio?

Formalemente NO. No se puede hablar de continuidad en un punto que no está en el dominio. Por lo menos con las definiciones usuales de continuidad. Sin embargo "coloquialmente" uno puede decir que la función \( (x^2-1)/(x-1) \) tiene una discontinuidad evitable en 1, porque hay una manera de definir la función en 1 de manera continua.

Fíjate que cuando uno habla sin más de la función \( (x^2-1)/(x-1) \) no se está especificando el dominio; hay cierta ambigüedad en la forma de aludir a la función y eso permite también cierta flexibilidad en el lenguaje.

De todas formas para no liarte. Vuevlo a mi frase inicial. RIGUROSAMENTE UNO SOLO PUEDE HABLAR DE CONTINUIDAD EN PUNTOS DONDE LA FUNCION ESTÁ DEFINIDA.

Citar
Lo que pasa es que sino me quedan la mayoría de las funciones comunes como continuas. (cuando digo funciones comunes me refiero a las que no estan definidas por tramos por ejemplo).

CIERTO. La funciones "comunes" son continuas. De hecho se combinan casi siempre para formar funciones continuas más complicadas.

Saludos.