[Jorge]

Sean \( (X,\tau,\mu) \) un espacio de medida y \( f_{n} \) una sucesión monótona de funciones en \( \[\ell ^1 \] \) (espacio de las funciones medibles de integral finita) que converge puntualmente a \( f \). Demostrar las siguientes equivalencias:
1. \( \[
\lim _{n \to \infty } \int {\left| {f_n  - f} \right|d\mu  = 0}
\] \)
2. \( f \) está en \( \[\ell ^1 \] \)
3. \( \[
Sup_{n \in \mathbb{N}} \left| {\int {f_n d\mu } } \right| < \infty
\] \)
4.\(  \[
Sup_{n \in \mathbb{N}} \int {\left| {f_n } \right|d\mu  < \infty }
\] \)

Bueno estoy tratando de hacer el camino \( 4\Rightarrow{3}\Rightarrow{2}\Rightarrow{1}\Rightarrow{4} \) pues encontre dos implicancias que son fáciles, pero tengo problemas con hacer \( 3\Rightarrow{2} \) y \( 1\Rightarrow{4} \).
Saludos.

[numbsoul]

Veamos que (1) implica (4):Usando que \( |f|\leq |f-f_{n}|+|f_{n}| \) e integrando,vemos que \( f \) es integrable.La hipótesis nos dice entonces que \( f_{n}\longrightarrow f \) en \( L^{1} \).Eso implica que \( \displaystyle\int f_{n}\;d\mu\longrightarrow \displaystyle\int f\;d\mu \).

Mas aun,como \( ||f_{n}|-|f||\leq |f_{n}-f| \),vemos que \( |f_{n}|\longrightarrow |f| \) en \( L^{1} \) y por la misma razón que antes \( \displaystyle\int |f_{n}|\;d\mu\longrightarrow \displaystyle\int |f|\;d\mu \).

[numbsoul]

Veamos que (3) implica (2):Tenemos que la sucesión \( a_{n}=\displaystyle\int f_{n}\;d\mu \) es convergente al ser monótona y acotada.Por lo tanto es de Cauchy,de manera que dado \( \varepsilon>0 \),existe \( N\in\mathbb{N} \) tal que si \( n\geq m\geq N \),entonces \( |\displaystyle\int (f_{n}-f_{m})\;d\mu|<\varepsilon \).Como la integral y el integrando son no negativos (estamos suponiendo  que es monótona creciente),podemos escribir \( \displaystyle\int |f_{n}-f_{m}|\;d\mu<\varepsilon \).

Por lo tanto \( (f_{n}) \) es de Cauchy en \( L^{1} \).

Prosigue.