Hola, buenas tardes.
Estoy estudiando el libro Real Analysis de Royden. Cierta proposición afirma que son equivalentes las siguientes cosas
i) E es medible
ii) \( \forall{\epsilon>0} \) existe un abierto O tal que \( \mu^*(O-E)<\epsilon \)
iii) \( \forall{\epsilon>0} \) existe un cerrado F tal que \( \mu^*(F-E)<\epsilon \)
iv) \( \forall{\epsilon>0} \) existe un G en \( G_{\delta} \) tal que \( \mu^*(G-E)<\epsilon \)
v) \( \forall{\epsilon>0} \) existe un F en \( F_{\sigma} \) tal que \( \mu^*(F-E)<\epsilon \)
Y si además la medida exterior de E es finita, entonces
vi) \( \forall{\epsilon>0} \) existe una unión finita de intervalos abiertos U tal que \( \mu^*(U·E)<\epsilon \)
Como ejercicio se plantea demostrar esta proposición, i) implica ii) es fácil.
En el caso que la medida exterior de E sea \( \mu^*E<\infty \) hay que probar la equivalencia entre los enunciados ii) y vi), pero no se me ocurre qué hacer.
Saludos,
