[Kubik]

Hola!!

necesito que me ayuden con el siguiente problema:

Sea \( f:\mathbb{R}\rightarrow{[0,+\infty)} \) medible de Lebesgue y \( \left\{{A_n={x\in{R}: 2^{(n-1)}\leq{f}<2^n}}\righ\} \).Mostrar que f es integrable, si y sólo si, la serie \( \displaystyle\sum_{n=-\infty}^{+\infty}{2^nm(A_n)} \) es convergente.
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Yo se que una serie es convergente cuando...

http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_convergente

 

[Luis Fuentes]

Hola

 Observa que puedes acotar \( f \) por:

\(  \displaystyle\sum_{n=-\infty}^\infty{}2^{n-1}\chi_{A_n}\leq f\leq \displaystyle\sum_{n=-\infty}^\infty{}2^{n}\chi_{A_n} \)

 donde \( \chi_A \) es la función característica de \( A \).

Saludos.

[Kubik]

pero usted,¿ como deduce de ahí la serie \( \displaystyle\sum_{n=-\infty}^{+\infty}{2^nm(A_n)} \) y ¿no es mejor utilizar algún metodo de convergencia?

[argentinator]

Sí, está usando el método de convergencia dominada, pues ha acotado la serie por una función no negativa que tiene integral finita.