[lindtaylor]

Sea \( \varphi:R\to S \) un homomorfismo de anillos.
Demuestre que si \( P \) es un ideal primo de \( S \), entonces \( \varphi^{-1}(P)=R \) o \( \varphi^{-1}(P) \) es un ideal primo de \( R \).

Ya he demostrado que \( {\varphi^{-1}(P) } \) es un ideal primo de \( R \), me falta ver que \( \varphi^{-1}(P)=R \), para esto llego a esto:

Sea \( a\in R \) y \( \varphi^{-1}(p)\in \varphi^{-1}(P) \) para algún \( p\in P \). Como \( a\varphi^{-1}(p)\in \varphi^{-1}(P) \) (ya que \( \varphi^{-1}(P) \) es un ideal) se tiene entonces que \( \varphi (a\varphi^{-1}(p))\in P \) y entonces \( \varphi(a)\varphi(\varphi^{-1}(p))\in P \), como \( P \) es ideal primo se sigue que \( \varphi(a)\in P \) o \( \varphi(\varphi^{-1}(p))\in P \).

De acá veo que si se cumple \( \varphi(a)\in R  \) se tiene que \( a\in \varphi^{-1}(P)  \) y por tanto \( \varphi^{-1}(P)=R. \)
Pero nose si está demostrado ya que falta ver la opción \( \varphi(\varphi^{-1}(p))\in P \)...

Qué me falta ver?
Desde ya gracias.

[teeteto]

Es que lo que te piden es que demuestres que \( \varphi^{-1}(P) \) es primo o \( \varphi^{-1}(P)=R \).

Para ver eso tienes que ver que pasa una cosa o la otra (no que pasan las dos a la vez).

Así que o bien \( \varphi^{-1}(P)=R \) o bien \( \varphi^{-1}(P)\neq R \). Pero en ese segundo caso ya has probado que el ideal es primo.

Y ya está.