[Lolyta]

Hola. Para la prueba de la siguiente proposición:
Sea G un grupo y H un subgrupo de G tal que [G:H]=\( n < \infty \) entonces existe un subgrupo de H que es normal en G tal que [G:N] divide a n!.
En particular, todo subgrupo de índice finito contiene un subgrupo normal de índice finito.
Ahora viene lo que no entiendo. Dice: Así que si \( n>1 \) G es infinito y el orden de G no divide a n!, G no es simple. ¿POR QUÉ?

Otra cosa, en la demostración hay un paso que dice G/N es isomorfo a un subgrupo de \( S_{ym}(X) \) lo cual implica que [G:N]= cardinal de G/N que divide al cardinal de \( S_{ym}(X) \), ¿POR QUÉ LO DIVIDE?
Además, en la demostración hemos cogido N como el núcleo de la acción de  sobre G/H=\( \left\{{Hg: g\in{G}}\right\}  \) y en una parte de la demostración dice que claramente N está contenido en H. ¿POR QUÉ?

Muchas gracias por cualquier aportación

[serpa]

Hola Lolyta.

Ahora viene lo que no entiendo. Dice: Así que si \( n>1 \) G es infinito y el orden de G no divide a n!, G no es simple. ¿POR QUÉ?

Esta parte no es muy clara. Si G es infinito como podria el orden de G dividir a n! ?

Otra cosa, en la demostración hay un paso que dice G/N es isomorfo a un subgrupo de \( S_{ym}(X) \) lo cual implica que [G:N]= cardinal de G/N que divide al cardinal de \( S_{ym}(X) \), ¿POR QUÉ LO DIVIDE?

Lo divide simplemente por el teorema de Lagrange. Debido a que G/N "es un subgrupo" de Sym(X).

Además, en la demostración hemos cogido N como el núcleo de la acción de  sobre G/H=\( \left\{{Hg: g\in{G}}\right\}  \) y en una parte de la demostración dice que claramente N está contenido en H. ¿POR QUÉ?

Muestranos dicha demostracion para asi poder ayudarte.


Saludos