Hola, otra ves recaigo en uds., esta ves para que me saquen una duda con respecto a los cuantificadores anidados.
Mi problema se presenta cuando me piden demostrar proposiciones cuantificadas de la forma que sigue:
1. \( \forall{x},\exists{y},P(x,y) \)
2. \( \forall{y},\exists{x},P(x,y) \)
3. \( \exists{x},\forall{y},P(x,y) \)
4. \( \exists{y},\forall{x},P(x,y) \)
5. \( \forall{x},\forall{y},P(x,y) \)
6. \( \exists{x},\exists{y},P(x,y) \)
[EDITADO]
Por ejemplo para 1. procedo pensando de la siguiente forma:
Para cualquier x, existe al menos una y, que puede depender de la elección de x, tal que P(x,y). Y para demostrar la veracidad de este hecho lo que hago es buscar un valor de y(puede que sea general, por ejemplo, y=x+2; o un valor numerico) para el cual se cumpla la P(x,y); en caso contrario muestro que P(x,y) es falso para todo valor de y
Aquí mis preguntas,
a.¿Esta forma de pensar el ejercicio es correcta?
b.¿De la misma forma podria pensar ejercicios de la forma 2.(con los respectivos cambios de variables)?
Ejercicios de la forma 3. los pienso así:
Existe al menos un valor de x para el cual y puede ser cualquier valor, tal que P(x,y) es verdadera.
Para demostrar que esto es verdad procedo a hacer una demostración en la cual se muestra que para cada x del dominio de discurso P(x,y) es cierta; en caso contrario propongo un contraejemplo.
Nuevamente mis preguntas, semejantes a las anteriores:
a'.¿Esta forma de pensar el ejercicio es correcta?
b'.¿De la misma forma podria pensar ejercicios de la forma 2.(con los respectivos cambios de variables)?
Para resolver ejercicios del tipo 5.:
En caso de que se verdad esa afirmación, propongo una demostración en la cual se vea que es cierto para cualquier valor de x e y que se elija; de no ser así desarrollo un contraejemplo con valores de x e y.
Preguntas:
a''.¿Esta forma de pensar el ejercicio es correcta?
b''.¿Es indistinto el orden en el que venga x e y?
Para la forma 6.:
Elijo valores de x e y para los cuales se cumpla P(x,y). Sino demuestro que P(x,y) no se cumple para ningún valor de x e y.
Preguntas:
a''.¿Esta forma de pensar el ejercicio es correcta?
b''.¿Es indistinto el orden en el que venga x e y?
[/EDITADO],
Quisiera, si fuese posible, que me expliquen alguna forma de poder proceder para resolver estos problemas.
Desde ya muchas gracias por su tiempo.