[Gaussa]

Muchas gracias a todos.

Me faltaba una, \( T_9=\{\emptyset, \{a,b\}, X\} \)

Como puedes ver el paper es hecho en el 2006, entonces no sé sí a partir de esa fecha hasta actualmente, se halla encontrado respuesta a dicha pregunta.

Lo vi hoy en clase, y el profesor comentó que hasta ahora no se ha encontrado la respuesta.

Saludos

[Buscón]

Si el conjunto tiene \( n \) elementos, hay \( 2^n \)  subconjuntos posibles y \( 2^{2^n \) maneras de cogerlos

Si no cojo ningún subconjunto no tiene sentido, me quedan  \( 2^{2^n}-1 \)
Si solo cojo un subconjunto no es topología, me quedan  \( 2^{2^n}-1-n \)
Hay exactamente \( 2^n^-^2-1 \) maneras de cogerlos de forma que no contienen el vacío y el todo,
\( 2^n^-^1-1 \) maneras que no contienen el vacío y \( 2^n^-^1-1 \) que no contienen el todo
por lo que me quedan:

(\( 2^2^n-(2^n+2^n^-^2+n-2) \) posibles topologías.)

Me equivoqué:

Creo que lo correcto es \( 2^{2^n}-5\cdot{2^{n-2}}-n+2 \)

Si el conjunto es infinito se podrán construir infinitas topologías.

CORREGIDO

[Luis Fuentes]

Hola

Si el conjunto tiene \( n \) elementos, hay \( 2^n \)  subconjuntos posibles y \( 2^{2^n} \) maneras de cogerlos

Si no cojo ningún subconjunto no tiene sentido, me quedan  \( 2^{2^n}-1 \)
Si solo cojo un subconjunto no es topología, me quedan  \( 2^{2^n}-1-n \)
Hay exactamente \( 2^n^-^2-1 \) maneras de cogerlos de forma que no contienen el vacío y el todo,
\( 2^n^-^1-1 \) maneras que no contienen el vacío y \( 2^n^-^1-1 \) que no contienen el todo
por lo que me quedan:

\( 2^2^n-(2^n+2^n^-^2+n-2) \) posibles topologías.

La cuenta no es correcta porque tomar al vacío y al total no te garantiza que la familia escogida vaya a ser una topología.

Dar una fórmula para el número de topologías posibles para un conjunto de \( n \) elementos no es tan sencillo (las fórmulas que existen son de hecho recursivas no se conoce una fórmula general para calcularlo). Puedes leer sobre el tema por aquí:

http://www.bdigital.unal.edu.co/38081/1/40452-181941-1-PB.pdf

Saludos.

CORREGIDO

[Buscón]

La cuenta no es correcta porque tomar al vacío y al total no te garantiza que la familia escogida vaya a ser una topología.

Cierto, por eso digo posibles topologías. Para que sean topología es necesario aunque no suficiente que estén el vacío y el todo.

Gracias por el link, pero antes de echarle un vistazo me gustaría trabajar un poco más la cuestión porque me ayuda a profundizar.

Las colecciones que tienen, además del todo y el vacío, a cada subconjunto unitario y su complementario son topologías seguro.
Y de estas hay exactamente n

Entonces,

si a las posibles topologías le quito la discreta, la indiscreta y las \( n \) anteriores (me queda:

      \( 2^2^n-(2^n+2^n^-^2+n-2)-n-2= \)\( 2^2^n-2^n-2^n^-^2-2n \) posibles topologías)


me queda:

\( 2^{2^n}-5\cdot{2^{n-2}}-n+2-n-2=2^{2^n}-5\cdot{2^{n-2}}-2n \) posibles topologías
                                    
                         y

      \( n+2 \) topologías confirmadas.

...

se me tienen que ocurrir más 

CORREGIDO

[Buscón]

¿Hay algún método o fórmula para saber cuántas hay?

Parece ser que listar todas las colecciones de subconjuntos posibles y comprobar una por una si es o no es topología. 

Las posibles, (espero me corrijan si me equivoco) son \( 2^{2^n}-1 \) para un conjunto de n elementos.

[Luis Fuentes]

Hola

Cierto, por eso digo posibles topologías. Para que sean topología es necesario aunque no suficiente que estén el vacío y el todo.

Gracias por el link, pero antes de echarle un vistazo me gustaría trabajar un poco más la cuestión porque me ayuda a profundizar.

Las colecciones que tienen, además del todo y el vacío, a cada subconjunto unitario y su complementario son topologías seguro.
Y de estas hay exactamente n
Entonces, si a las posibles topologías le quito la discreta, la indiscreta y las \( n \) anteriores me queda:

\( 2^2^n-(2^n+2^n^-^2+n-2)-n-2=2^2^n-2^n-2^n^-^2-2n \) posibles topologías y \( n+2 \) topologías confirmadas.

Las posibles, (espero me corrijan si me equivoco) son \( 2^{2^n}-1 \) para un conjunto de n elementos.

Pero no tiene mucho sentido (o es confuso) que hables de dar un número para "las" posibles topologías; lo que estás dando son cotas superiores para el número de topologías existente.

Es decir lo que dices es que para un conjunto de n elementos el número \( T(n) \) de topologías cumple:

\( T(n)\leq 2^{2^n}-1 \)

lo cuál es correcto.

Saludos.

[Buscón]

\( T(n)\leq 2^{2^n}-1 \)

Si, es un problema que crece muy rápido en complejidad con el tamaño n.
Solo hace falta un algoritmo eficiente.

MODIFICADO

Estuve dándole vueltas al problema:

Un conjunto con n elementos genera \( 2^n \) subconjuntos, hay \( 2^{2^n}-1 \) maneras de coger esos subconjuntos, para cada selección hay que hacer las uniones de todos sus subconjuntos, primero de dos en dos subconjuntos, luego de tres en tres...etc, para cada unión hecha hay que comprobar que está en la selección, para cada comprobación hay que comparar cada elemento de cada subconjunto comparado. Comprobar que la intersección pertenece a la selección es un poco mas sencillo por que basta con coger cada subconjunto y compararlo con todos los demás, para esto hay que comparar cada elemento de cada subconjunto comparado y comprobar que están en algún otro subconjunto de la selección...

En definitiva la conclusión es que tardé demasiado tiempo en darme cuenta que es sorprendentemente complejo, yo diría que inhumano, desquiciante... No creo que haya ordenador en el mundo capaz de resolverlo en un par de siglos para ciertos tamaños de n .

Un algoritmo para obtener la solución en un par de días con un buen ordenador para tamaños de n razonables ya me parece bastante complejo.

¿No podría realizarse este algoritmo un poco más modesto y encontrar esa fórmula a partir de los resultado obtenidos con él?

Por cierto, aprovecho para decir que de todo lo que he dicho en este hilo solo puedo asegurar que es correcto lo siguiente:

"Un conjunto con n elementos genera \( 2^n \) subconjuntos y estos se pueden coger de \( 2^{2^n}-1 \)  (no coger ninguno no tiene sentido en este caso)  maneras distintas"

Estoy seguro que el resto contiene errores.

[Buscón]

Tengo que encontrar todas las topologías posibles de \( X=\{a,b,c\} \), (no incluye las equivalentes). ¿Alguien sabe cuántas hay para comprobarlo? Hasta ahora he encontrado las siguientes:

T_1={X,∅}                                                       la indiscreta.

T_2={X,∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}}         la discreta.

T_3={X,∅,{a}}                            T_4={X,∅,{b}}                         T_5={X,∅,{c}}
   
T_6={X,∅,{a,b}}                         T_7={X,∅,{a,c}}                       T_8={X,∅,{b,c}}

T_9={X,∅,{a},{a,b}}                   T_10={X,∅,{a},{a,c}}               T_11={X,∅,{a},{b,c}}

T_12={X,∅,{b},{a,b}}                 T_13={X,∅,{b},{a,c}}               T_14={X,∅,{b},{b,c}}

T_15={X,∅,{c},{a,b}}                 T_16={X,∅,{c},{a,c}}               T_17={X,∅,{c},{b,c}}

T_18={X,∅,{a},{b},{a,b}}           T_19={X,∅,{a},{c},{a,c}}         T_20={X,∅,{a},{a,b},{a,c}}

T_21={X,∅,{b},{c},{b,c}}            T_22={X,∅,{b},{a,b},{b,c}}     T_23={X,∅,{c},{a,c},{b,c}}

T_24={X,∅,{a},{b},{c},{b,c}}     T_25={X,∅,{a},{b},{a,b},{b,c}}

T_26={X,∅,{a},{c},{a,b},{a,c}}   T_27={X,∅,{a},{c},{a,c},{b,c}}

T_28={X,∅,{b},{c},{a,b},{b,c}}   T_29={X,∅,{b},{c},{a,c},{b,c}}

[Buscón]

Yo seguí el siguiente:


\( T_{indiscreta}=\lbrace X,\varnothing\rbrace \); \( T_{discreta}=\lbrace X,\varnothing,\lbrace a\rbrace,\lbrace b\rbrace, \lbrace c\rbrace, \lbrace a,b\rbrace,\lbrace a,c\rbrace,\lbrace b,c\rbrace\rbrace \);

enumeramos los conjuntos de \( T_{discreta} \) de la manera siguiente:


\( 1=\lbrace a\rbrace;   2=\lbrace b\rbrace;   3=\lbrace c\rbrace  \)

\( 4=\lbrace a,b\rbrace;   5=\lbrace a,c\rbrace;   6=\lbrace b,c\rbrace  \)


a continuación listamos todas las combinaciones posibles sobre \(  \lbrace 1,2,3,4,5,6\rbrace  \) en orden creciente:

        1        2     3       4      5       6      12    13     14       15      16     23
      24       25   26     34     35     36     45     46     56     123    124    125
    126     134  135   136   145   146   156   234    235     236    245    246
    256     345  346   356   456 1234 1235 1236   1245   1246   1256  1345
  1346   1356 1456 2345 2346 2356 2456 3456 12345 12346 12356 12456
13456 23456

sustituimos en cada combinación cada dígito por su conjunto correspondiente según la enumeración inicial, le añadimos el vacío y el todo a cada una, y una vez hecho esto ya podemos ir comprobando una a una cual es topología y cual no

Saludos.

[tokameltotem]

Hola.

Tengo que encontrar todas las topologías posibles de \( X=\{a,b,c\} \), (no incluye las equivalentes). ¿Alguien sabe cuántas hay para comprobarlo? Hasta ahora he encontrado las siguientes:

\( T_1=\{\emptyset, \{a,b,c\}\} \) (trivial)
\( T_2=\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a,b\}, \{a,c\}, \{b,c\}, \{a,b,c\}\} \) (discreta)
\( T_3=\{\emptyset, \{a\}, \{a,b\}, \{a,b,c\}\} \)
\( T_4=\{\emptyset, \{a\},  \{a,b\},  \{a,c\},  \{a,b,c\}\} \)
\( T_5=\{\emptyset,  \{a\},  \{a,b\},  \{a,c\},  \{b\},  \{a,b,c\}\} \)
\( T_5=\{\emptyset,  \{a\},  \{a,b\},  \{a,c\},  \{a\},  \{a,b,c\}\} \)
\( T_7=\{\emptyset, \{a\},  \{b,c\},  \{a,b,c\}\} \)
\( T_8=\{\emptyset,  \{a\},  \{a,b,c\}\} \)

¿Hay algún método o fórmula para saber cuántas hay?

Saludos y muchas gracias

¿No faltaría: \( T=\{\emptyset, \{a,b\}, \{a,b,c\}\} \)?