[einstenio16]

Bienvenidos a este curso que tiene por finalidad  que el alumno adquiera sólidos conocimientos sobre geometría analítica y las aplicaciones que puede tener.

Se abarcarán los siguientes temas:

1. Trigonometría Básica
2. Vectores en \( \mathbb{R}^2 \)
3. Rectas
4. Introducción a las cónicas.
5. Circunferencia y Elipse
6. Parábola
7. Hipérbola
8. Trazado de curvas y Coordenadas polares
9. Transformaciones de coordenadas en \( \mathbb{R}^2 \)
10. Ecuaciones Paramétricas
11. Vectores en \( \mathbb{R}^3 \) , Rectas y planos en el espacio
12. Transformaciones de coordenadas en \( \mathbb{R}^3 \)
13. Superficies
14. Curvas en el espacio

La Bibliografía a ocupar será

A) Geometría Analítica Moderna, William Wooton y otros.
B) Geometría Analítica, Charles Lehmann.

Asi mismo se entregarán apuntes y guias de ejercicios.

y lo que se puso en el subforo de organización:

Prerrequisitos: Tener conocimientos básicos de Geometría Plana (Euclídea) y del espacio, tales como:

A) El plano eucídeo, sus elementos (punto, recta, segmento, ángulos etc.) y la propiedades que pueden tener (condiciones de paralelismo y perpendicularidad, Relaciones entre ángulos, etc.)

B) El triángulo (se pide nociones de congruencia y semejanza de triángulos, rectas notables* y propiedades de éstas) y otros polígonos. Área y perímetro de polígonos convexos y no convexos

C) La Circunferencia y el círculo (ángulos en la circunferencia, posiciones relativas de puntos y rectas, etc.)

D) Relaciones de proporcionalidad de segmentos (Teoremas de Euclides, de Tales y de la bisectriz)

Tener también conocimientos sobre álgebra (El alumno debe saber lenguaje simbólico, operar con polinomios, factorizar (o factorar), etc.) y funciones reales de variable real (Inyectividad, suprayectividad, biyectividad, paridad, ceros de función, dominio, codominio, etc.).

Se considerará también el uso de LaTeX, lo que no es un requisito como tal, pero servirá mucho para entregar un examen ordenado; solamente es una sugerencia.

Duración: Indefinida, se piensa dejar plazo de inscripción hasta dos días antes del primer examen del curso.

Responsable del curso: einstenio16, que también dictará el curso.

Modo de evaluación: Se efectuará un total de cinco exámenes escritos, cuyo promedio equivale al 60% de la calificación final, que será de 1,0 a 7,0. El alumno tendrá asimismo tareas (que corresponde a problemas destacados de las guías de ejercicios) cuyo promedio equivale al 40% de la calificación final. El alumno aprobará el curso sí y solo si su calificación final es mayor o igual a 4,0.

Cualquier duda o consulta, enviar un MP...

PD: Ah! se me olvidaba, aqui no se responde, para ello esta la sección de comentarios y consultas...

Organización del Curso:

Spoiler

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,60950.0.html

[cerrar]

Consultas, Comentarios y Ejercitación del Curso:

Spoiler

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,60960.0.html

[cerrar]

[einstenio16]

Muy bien... Comenzaremos con el curso:

TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

A medida que vamos avanzando hasta dos días antes del primer examen, estarán abiertas las inscripciones, para que puedan obtener su método de estudio.

Ante cualquier duda o sugerencia, no duden en mandarme un MP o posteen en la parte de consultas, cuyo link esta en el post anterior. No está de más decir que este tema solamente es para postear la teoría y poner los link de las guías, no se ocupará para otra cosa...

Bien, a modo introductorio puedo decir que la geometría, desde sus inicios y en su esencia más pura, se ocupó de la medida de la tierra (claro, también de los objetos que en ella están). De ahí sale la etimología de la palabra geometría y, a partir de ella, nacen las subdisciplinas de la geometría: La más famosa es la Euclídea (en honor a Euclides), pero ya en el siglo XIX (si mal no recuerdo) ya hubo alguien que trató de refutar los postulados que propuso Euclides (Lobachevski).

La geometría analítica se ocupará más de la geometría euclideana, pero viéndolo desde el punto de vista algebraico y ocupando el análisis matemático; Por lo tanto, según el matemático Felix Klein, la geometría analítica no es una geometría como tal.

[einstenio16]

CAPÍTULO 1:

TRIGONOMETRÍA BÁSICA

Definición 1.1: Sean dos conjuntos \( A,B \neq \emptyset \), se define el producto cartesiano entre \( A \) y \( B \) al conjunto \( A \times B = \left\{{(a,b): a \in A \wedge b \in B }\right\} \). En particular, si \( A=B \), se define \( A^2  = A\times A =\left\{{(a,b): a \in A \wedge b \in A }\right\} \).

Ya saben a lo que me refiero con \( \mathbb{R}^2 \), son pares ordenados \( (a,b) \) donde \( a \in \mathbb{R} \) y \( b \in \mathbb{R} \).

En \( \mathbb{R}^2 \) se considera un conjunto \( C=\left\{{(u,v): u^2+v^2=1}\right\} \)

Figura 1

A partir de esto daremos una definición formal de una circunferencia trigonométrica:

Definición 1.2: La circunferencia trigonométrica es la circunferencia unitaria con centro en el origen O de un plano coordenado.

Sea \( x \in \mathbb{R} \). Se construye un arco \( AP \), partiendo de A, cuya longitud es \( \left |{x}\right | \) (ver Figura 2).

Figura 2

Definición 1.3: Sea \( A \) el punto \( (1,0) \) y \( P(u,v) \) un punto en la circunferencia trigonométrica tal que \( \angle AOP = x \), se definen \( \sin x =v \) y \( \cos x =u \).

[einstenio16]

Una aclaración: La unidad de medición angular que utilizaremos es el radián, que se define como el arco cuya longitud equivale a la del radio de la circunferencia a la que dicho arco pertenece. Por ejemplo, para el ángulo central, que mide 360º, nosotros damos una vuelta de circunferencia; entonces el arco en este caso es \( 2 \cdot \pi \cdot r \), pero la longitud del arco de circunferencia es equivalente al ángulo subtendido por el arco multiplicado por la longitud del radio, por lo cual (despejando el ángulo subtendido) nos resulta:

\( 360 \textdegree =\displaystyle\frac{2 \pi r}{r}=2 \pi  \) radianes

Las equivalencias son:

\( 180 \textdegree = \pi \) rad.
\( 90 \textdegree = \displaystyle\frac{\pi}{2} \) rad.
\( 45 \textdegree = \displaystyle\frac{\pi}{4} \) rad.

A. REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

PARA EL ÁNGULO COMPLEMENTARIO

En una Circunferencia Trigonométrica se dibujan dos puntos: \( A(1,0) \) y \( B(0,1) \). Sean dos puntos en la circunferencia \( P(u,v) \) y \( P'(u',v') \) tales que \( \angle AOP = \angle P'OB =x \).

Figura 4

Se puede ver que \( \angle AOP' = \displaystyle\frac{\pi}{2} - x \).

Entonces, se deduce que \( \sin (\displaystyle\frac{\pi}{2} - x)= \cos x \) y que \( \cos (\displaystyle\frac{\pi}{2} - x)= \sin x \)

PARA EL ÁNGULO SUPLEMENTARIO

En una Circunferencia Trigonométrica se dibujan dos puntos: \( A(1,0) \) y \( B(-1,0) \). Sean dos puntos en la circunferencia \( P(u,v) \) y \( P'(u',v') \) tales que \( \angle AOP = \angle P'OB =x \)

Figura 3

Se puede ver que \( \angle AOP' = \pi - x \). Entonces, se deduce que \( \sin (\pi - x)= \sin x \) y que \( \cos (\pi - x)= \cos x \)

Ejercicio 1.4: Deduzca las reducciones al primer cuadrante para los ángulos \( \pi + x \), \( \displaystyle\frac{\pi}{2} +x \) y \( -x \) (si gustan pueden ocupar el mismo método anteriormente expuesto).

[einstenio16]

Definición 1.5 Se define que:

\( \tg x = \displaystyle\frac{\sin x}{\cos x} \) (Tangente)

\( \cotg x = \displaystyle\frac{\cos x}{\sin x} \) (Cotangente)

\( \sec x = \displaystyle\frac{1}{\cos x} \) (Secante)

\( \csc x = \displaystyle\frac{1}{\sin x} \)

B. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Considere un triángulo \( ABC \) recto en C y sea \( \alpha \) un ángulo agudo. Sean \( a  \)el cateto opuesto a \( \alpha \), \( b \) el cateto adyacente a \( \alpha \) y \( c \) la hipotenusa.

Figura 5

Definiremos el seno de \( \alpha \) como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, es decir:

\( \sin \alpha = \displaystyle\frac{a}{c} \)

Definiremos el coseno de \( \alpha \) como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa, es decir:

\( \cos \alpha = \displaystyle\frac{b}{c} \)

En base a la definición 1.5, se tiene que :

\( \tg \alpha = \displaystyle\frac{\sin x}{\cos x} = \displaystyle\frac{a}{b} \)

\( \cotg \alpha = \displaystyle\frac{\cos x}{\sin x} = \displaystyle\frac{b}{a} \)

\( \sec \alpha = \displaystyle\frac{1}{\cos x} = \displaystyle\frac{c}{b} \)

\( \csc \alpha = \displaystyle\frac{1}{\sin x} = \displaystyle\frac{c}{a} \)

[einstenio16]

C. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN ÁNGULOS NOTABLES

Para el ángulo \( \displaystyle\frac{\pi}{4} \)

Considere un tríangulo \( ABC \) (como el de la figura 5) isósceles rectángulo, es decir, que \( \overline{AC}=\overline{BC} \).

Ocupando Teorema de Pitágoras, se tiene que:

\( \overline{AB}^2 = \overline{AC}^2 + \overline{BC}^2 \)

\( \Leftrightarrow{\overline{AB}^2 = 2 \overline{AC}^2}  \)

\( \Leftrightarrow{AC=\sqrt{\displaystyle\frac{\overline{AB}^2}{2}}} \)

\( \Leftrightarrow{AC=\displaystyle\frac{\overline{AB}}{\sqrt{2}}} \)

Por lo tanto \( a=b=\displaystyle\frac{c}{\sqrt{2}} \)

Por las definiciones dadas se tendrá que:

\( \sin \alpha = \displaystyle\frac{a}{c}=\displaystyle\frac{c}{\sqrt{2}} \cdot \displaystyle\frac{1}{c}= \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \)

\( \cos \alpha= \displaystyle\frac{b}{c} = \displaystyle\frac{c}{\sqrt{2}} \cdot \displaystyle\frac{1}{c}= \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \)

\( \tg \alpha = \displaystyle\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2}=1 \)

Para los ángulos \( \displaystyle\frac{\pi}{3} \) y \( \displaystyle\frac{\pi}{6} \)

Considere un triángulo \( ABC \) equilátero y considere la altura \( \overline{AD} \)



Nótese que \( \overline{AD}=\overline{BD}=\displaystyle\frac{a}{2} \).

Para \( \displaystyle\frac{\pi}{6} \), ocupamos teorema de Pitágoras:

\( \overline{AC}^2 = \overline{AD}^2 + \overline{CD}^2 \)

\( \Leftrightarrow{a^2 = \displaystyle\frac{a^2}{4} + \overline{CD}^2} \)

\( \Leftrightarrow{\sqrt{\displaystyle\frac{3a^2}{2}}=\overline{CD}} \)

\( \Leftrightarrow{\overline{CD}=\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{2}}  \)

Se tendrá entonces:

\( \sin \alpha = \displaystyle\frac{\overline{AD}}{\overline{AC}}= \displaystyle\frac{a}{2}\cdot{\displaystyle\frac{1}{a}} = \displaystyle\frac{1}{2}  \)

\( \cos \alpha = \displaystyle\frac{\overline{CD}}{\overline{AC}}= \displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot{\displaystyle\frac{1}{a}}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( \tg \alpha = \displaystyle\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}}{\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} \)

Pero sabemos que \( \displaystyle\frac{\pi}{3} \) y \( \displaystyle\frac{\pi}{6} \) son ángulos complementarios. Por reducción se tiene que:

\( \sin \displaystyle\frac{\pi}{3}= \cos \displaystyle\frac{\pi}{6}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( \cos \displaystyle\frac{\pi}{3}= \sin \displaystyle\frac{\pi}{6}=\displaystyle\frac{1}{2}  \)

\( \tg \displaystyle\frac{\pi}{3}= \displaystyle\frac{\\sin \displaystyle\frac{\pi}{3}}{\cos \displaystyle\frac{\pi}{3}}=\sqrt{3} \)

[einstenio16]

D. SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Previamente:

Llámese Sentido Positivo si el ángulo se mide en sentido Antihorario
Llámese Sentido Negativo si el ángulo se mide en sentido Horario

(Definición mía) Se llama cuadrante a cualquier "cuarto de plano" limitado por los ejes de las abscisas (o X) y de las ordenadas (o Y)

Entonces se tendrá que:

El eje de las abscisas  será positivo tanto en el primer cuadrante como en el cuarto cuadrante, en el segundo y en el tercer cuadrante, este será  negativo

El eje de las ordenadas será positivo tanto en el primer cuadrante como en el segundo cuadrante, en el tercer y cuarto cuadrante este será negativo



Llamaremos radio al segmento que une el centro de la circunferencia y cualquier punto de la circunferencia. ¿Por qué digo "cualquier"? Pues porque la longitud del radio permanece constante en cualquier punto de la circunferencia. Por convención, este radio será siempre positivo.

Entonces:

• En el primer cuadrante, tanto la abscisa como la ordenada son positivos; por lo tanto: \( \sen \alpha \), \( \cos \alpha \) y \( \tg \alpha \) son positivos.
• En el segundo cuadrante, la abscisa es negativa y la ordenada es positiva; por lo tanto: \( \sen \alpha \) es positivo y, \( \cos \alpha \) y \( \tg \alpha \) son negativos
• En el tercer cuadrante, tanto la abscisa y la ordenada son negativas; por lo tanto: \( \sen \alpha \) y \( \cos \alpha \) son negativos, y \( \tg \alpha \) es positivo
• En el cuarto cuadrante, la abscisa es positiva y la ordenada es negativa; por lo tanto: \( \cos \alpha \) es positivo y, \( \sin \alpha \)  y \( \tg \alpha \) son negativos.

Hay una regla mnemotécnica para recordarse de los signos de las razones trigonométricas:

TODO - SIN - TA - COS
  I      -   II   -  III -  IV

Quiere decir: si yo me ubico en el primer cuadrante, TODOs son positivos. Si me ubico en el segundo, SINo (seno) es positivo. Si me ubico en el tercer cuadrante, TAngente es positivo. Y si me ubico en el cuarto cuadrante, COSeno es positivo...

[einstenio16]

E. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Tomando como referencia la figura 5, vemos que se cumple el teorema de Pitágoras:

\( a^2 + b^2 =c^2 \)

Ahora bien, si los dos miembros de la igualdad los divido por \( c^2 \) nos quedará la igualdad:

\( \displaystyle(\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 =1 \)

Pero sabemos que \( \displaystyle\frac{a}{c}=\sen \alpha \) y \( \displaystyle\frac{b}{c}= \cos \alpha \), entonces:

\( \sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha=1 \)

(1)

Esta igualdad se llama fundamental (porque de ella se obtienen la mayoría de las identidades trigonométricas) o pitagórica (pues se obtiene del teorema de Pitágoras). Si hacemos el mismo procedimiento, pero ahora dividiendo por \( a^2 \) o por \( b^2 \), se obtienen:

\( \tg ^2  \alpha + 1 = \sec ^2 \alpha \)

(2)

\( \cotg ^2 \alpha + 1 = \csc ^2 \alpha \)

(3)

Ejemplo 1.6: Demuestre que:

\( \displaystyle\frac{\tg \alpha}{\sec \alpha -1} + \displaystyle\frac{\tg \alpha}{\sec \alpha +1} = 2 \csc \alpha \)

Nótese que:

\( \displaystyle\frac{\tg \alpha}{\sec \alpha -1} + \displaystyle\frac{\tg \alpha}{\sec \alpha +1} \Leftrightarrow{\displaystyle\frac{\tg \alpha (\sec \alpha +1) + \tg \alpha (\sec \alpha - 1)}{\sec ^2 \alpha - 1}}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{\tg \alpha (\sec \alpha + 1 + \sec \alpha -1)}{\tg ^2 \alpha}}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{2 \sec \alpha}{\tg \alpha}}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{2\displaystyle\frac{1}{\cos \alpha}}{\displaystyle\frac{\sen \alpha}{\cos \alpha}}}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{2}{\sen \alpha}}\Leftrightarrow{2\csc\alpha} \)

[einstenio16]

Ejemplo 1.7: Demostrar que:

\( \sin ^6 \alpha + \cos ^6 \alpha = 1-3 \sen ^2 \alpha \cos ^2 \alpha  \)

Recuerda que \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab + b^2) \)... con eso tenemos "listo" el ejercicio, pues yo se que \( \sin ^6 \alpha = (\sin ^2 \alpha)^3 \) (así mismo con el coseno).

Entonces:

\( \sin ^6 \alpha + \cos ^6 \alpha \Leftrightarrow{(\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha) (\sin ^4 \alpha - \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha + \cos ^4 \alpha) \)}

Se nos apareció la identidad fundamental (¡Qué bueno...!), pero tengo los senos y cosenos a la cuarta... ¡muy simple! completamos cuadrados... vamos a reordenar términos para que quede más claro...

\( \sin ^6 \alpha + \cos ^6 \alpha \Leftrightarrow{(\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha) (\sin ^4 \alpha - \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha + \cos ^4 \alpha)}\Leftrightarrow{\sin ^4 \alpha + \cos ^4 \alpha  + 2 \sin ^2 \alpha \cos ^2 -2 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha- \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha }\Leftrightarrow{(\sin ^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 -3 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha }\Leftrightarrow{1 - 3 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha} \)

Ejemplo 1.8: Demostrar que:

\( 3(\cos ^4 \alpha + \sin ^4 \alpha)-2 (\cos ^6 \alpha + \sin ^6 \alpha)= 1 \)

Previamente: Tal como hicimos en el ejemplo 1.7, para encontrar una expresión equivalente a \( \cos ^4 \alpha + \sin ^4 \alpha \) es necesario completar cuadrados...

\( \cos ^4 \alpha + \sin ^4 \alpha \Leftrightarrow{\cos ^4 \alpha +2 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha+ \sin ^4 \alpha - 2 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha}\Leftrightarrow{(\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha)^2 -2 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha}\Leftrightarrow{1 - 2 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha} \)

Volviendo al ejemplo... En el ejemplo anterior vimos que \( \sin ^6 \alpha + \cos ^6 \alpha = 1-3 \sen ^2 \alpha \cos ^2 \alpha  \) y en lo previo \( \cos ^4 \alpha + \sin ^4 \alpha =1 - 2 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha \), entonces:

\( 3(\cos ^4 \alpha + \sin ^4 \alpha)-2 (\cos ^6 \alpha + \sin ^6 \alpha)\Leftrightarrow{3(1-2 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha)-2(1-3 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha)}\Leftrightarrow{3-6\sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha -2 +6\sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha}\Leftrightarrow{1} \)

Ejemplo 1.9: Demostrar que:

\( \sin ^8 x - \cos ^8 x = (\sin ^2 x- \cos ^2 x)(1- 2 \sin ^2 x \cos ^2 x) \)

Indicación: Como sugerencia, acuérdense de algunas factorizaciones (o factoraciones) conocidas, como por ejemplo: \( a^8 - b^8 = (a^2 + b^2)(a^2 - b^2)(a^4 + b^4) \)...

Volviendo al problema, es evidente que la factorización que les di les ayuda bastante... veamos:

\( \sin ^8 x - \cos ^8 x \Leftrightarrow{(\sin ^2 x + \cos ^2 x) (\sin ^2 x - \cos ^2 x) (\cos ^4 x + \sin ^4 x)}\Leftrightarrow{1 \cdot (\sin ^2 x - \cos ^2 x)(\cos ^4 x + \sin ^4 x)} \)

Pero yo sé que \( \cos ^4 \alpha + \sin ^4 \alpha =1 - 2 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha \), entonces:


\( \sin ^8 x - \cos ^8 x \Leftrightarrow{(\sin ^2 x + \cos ^2 x) (\sin ^2 x - \cos ^2 x) (\cos ^4 x + \sin ^4 x)}\Leftrightarrow{1 \cdot (\sin ^2 x - \cos ^2 x)(\cos ^4 x + \sin ^4 x)}\Leftrightarrow{(\sin ^2 x - \cos ^2 x)(1- 2 \sin ^2 x \cos ^2 x)} \)


Ejemplo 1.10: Demostrar que:

\( \displaystyle\frac{\tg x + \cotg y}{\cotg x + \tg y}= \displaystyle\frac{\tg x}{\tg y} \)

Nótese que:

\( \displaystyle\frac{\tg x + \cotg y}{\cotg x + \tg y}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{\tg x + \displaystyle\frac{1}{\tg y}}{\displaystyle\frac{1}{\tg x }+ \tg y}}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{\tg x \tg y +1}{\tg y}}{\displaystyle\frac{\tg x \tg y +1}{\tg x }}}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{\tg x}{\tg y}}  \)

[einstenio16]

Ahora, veremos las identidades de adición de ángulos... estas son:

\( \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha \)

(4)

\( \sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \sin \beta \cos \alpha \)

(5)

\( \cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \beta \sin \alpha \)

(6)

\( \cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \beta \sin \alpha \)

(7)

Ejemplo 1.11: Encontrar una expresión equivalente para \( \tg (\alpha + \beta) \)

Yo sé que:

\( \tg (\alpha + \beta) \Leftrightarrow{\displaystyle\frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos (\alpha + \beta)}}  \)

Ocupamos entonces las identidades para la suma de ángulos:

\( \tg (\alpha + \beta) \Leftrightarrow{\displaystyle\frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos (\alpha + \beta)}}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \beta \cos \alpha}}  \)

Algunos diran: "¡Pero nos queda peor!"... No está todo perdido, chicos. Unos cuántos años estudiando matemática me han enseñado una cosa que cualquiera que se mete con matemática un poco más avanzada debe saber... ¡Multiplicar por 1!

Pero me dirán entonces: "¿Qué?... ¡Estás enfermo!... Si yo sé multiplicar por 1"... ¡OJO! el 1 por el cual multiplico va camuflado... ¡ese es el famoso truco!... veamos: Multiplicaremos la expresión por secante sobre secante, de esta forma:

\( \tg (\alpha + \beta) \Leftrightarrow{\displaystyle\frac{\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \beta \sin \alpha}\cdot \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{\cos \alpha \cos \beta}}{\displaystyle\frac{1}{\cos \alpha \cos \beta}}}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+\displaystyle\frac{\sin \beta}{\cos \beta}}{1-\displaystyle\frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta}}  \)

Una expresión mucho más amigable, y es lo que buscábamos...

Ejercicio 1.12 Haga lo mismo con \( \tg (\alpha - \beta) \)

Ejemplo 1.13: Demuestre que:

\( \cos (x+y) \cos y + \sin (x + y) \sin y = \cos x \)

Notar que:

\( \cos (x+y) \cos y + \sin (x + y) \sin y \Leftrightarrow{(\cos x \cos y - \sin x \sin y) \cos y + (\sin x \cos y + \sin y \cos x) \sin y \Leftrightarrow{\cos x \cos ^2 y - \sin x \cos y \sin y + \sin x \sin y \cos y + \sin ^2 y \cos x}}\Leftrightarrow{\cos x (\sin ^2 y + \cos ^2 y)}\Leftrightarrow{\cos x} \)