a) Dices que: "...manejas bien los resultados...", "...pero los argumentos son confusos...", "...por ahí esta el problema...". Si relativizas tus juicios a un "me parece a mi", que, por otra parte, debe estar implícito en toda conversación y así lo considero, empezaremos a entendernos. Date cuenta que, incluso puestos de acuerdo , no garantiza que tengamos razón, que podríamos equivocarnos en los mismos puntos o distintos y llegar, por tanto, a idénticos o contrarios resultados, por cuestiones lógicas.
b) Las matemáticas se caracterizan mas por el árbol deductivo que por su separación del resto del mundo, hace justo lo contrario. Para ello toma los axiomas mínimos y mas evidentes, construyendo con la lógica lo que puede (que es herramienta universal). Incluso, si algo no tiene un modelo sensible, medianamente intuitivo, se definen con precisión la forma de montar los discursos y sus normas específicas de deducción.
b) 0,333... nace como la representación decimal de un quebrado y refleja algo de lo que ocurre cuando dividimos con la regla de división con decimales, que ¡no es el quebrado 1/3!, que sirve para los de su clase de equivalencia, como 2/6 o 3)9 o ... (según cumplan la relación (a/b) / (c/d) = (axd) / (bxc)). Igual podíamos emplear como representación de un quebrado el tercer guarismo de la división decimal, u otras al azar. Pero no tenemos forma de sumar representaciones...a menos que consultemos directamente la solución adoptada en un spoiler y nos ahorremos de pensar. ¿Que es técnica buena para aprobar exámenes?, no lo discuto, pero con lo que no se razona...hay que comulgar, previa certificación por el examinador. Tal vez ahí está el problema y la mencionada confusión. (No es crítica, ya he comentado que la docencia, como todo, requiera tanto razonar como aplicar.)
c) 0,999... , por otra parte, no veo que lo de división de quebrados alguna, o estoy torpe. Así que me veo abocado a entrar en las representaciones decimales con sus cifras y en el concepto de límite, para definir las que son equivalentes, ya que 1,000... es claramente distinta de la representación 0,999..., desde la primera cifra. Para ello me paso a las sucesiones de quebrados de cualquier serie de cifras tomadas una a una, que expreso como un quebrado, que puedo, quedando la sucesión como sucesión de quebrados, con las que creamos todo el mas amplio grupo de los reales (por definición constructiva).
d) Dada una representación decimal cualquiera, abc,def etc, la puedo representar como el límite de la sucesión (a | ab | abc | abc,d | abc,de | abc,def | ...), ya expresada como sucesión de quebrados. Nota Las "series" que empleas son sucesiones que derivan de una previa, sumando los términos anteriores. Esta serie es la que ya proviene de la ( ax100 | bx10 | cx1 | d/10 | f|100 | g/1000 | ... ), mas claramente sucesión de quebrados. (La previa decreciente y la serie creciente).
e) De las infinitas sucesiones que pueden dar un mismo quebrado, escojo la que mas se parece para adoptar el criterio viejo de su representación decimal, o, ya puestos, amplio ese tipo de bautizo o nomenklator a todas las representaciones con periodicidad, incluso alcanzando al 0.999..., que no era cristiano viejo. Luego compruebo que da un límite igual a algo que venia en regla, el 1.
f) Nota Decimos que Límite (a | b | c | ....) = L cuando en la sucesión (L-a | L-b | L-c | ...) veo que "decae" al cero, lo que dicho de otra forma mas acurada es: cuando dando cualquier cifra distinta de cero, sea grande o pequeña (pero dable), puedo dar un término a partir del cual la diferencia sea menor.
Aplicado a L,imite ( 0,9 | 0,99 | 0,999 | ...) = 1, equivale a decir que
( 1-0,9 | 1-0,99 | 1-0,999 | ...) =
= ( 0,1 | 0,01 | 0,001 | ...), donde se ve que la diferencia tiende a 0 (ceropio o zero zapatero).
