[Luis Fuentes]

Hola

 En este mensaje transcribo un fragmento de la conferencia pronunciada por H. Poincaré a principios del siglo XX, en la Sociedad Psicológica de Paris, sobre el proceso de creación matemática. En otras ocasiones se ha hablado de ella en el foro y se ha dado algún enlace donde aparecía, pero he comprobado que algunos están rotos y en otros sólo se muestran algunos párrafos. A mi me gusta mucho.

 La referencia de la revista donde aparece publicada por primera vez es:

"Mathematical Creation". The Monist. Vol XX, Nº3, págs 321-335. Julio, 1910.

 Aquí va:

Cómo se geste la creación matemática es un problema que debería interesar mucho a los psicólogos. Se trata de aquella actividad en que la mente humana parece recurrir menos al mundo exterior, actuando, o pareciendo actuar, por sí y para sí, por lo que podríamos esperar que el estudio del modo de proceder del pensamiento geométrico nos adentrase en lo más esencial de la mente humana.

El primer hecho que habría de sorprendernos, si no fuese por lo acostumbrados que estamos a aceptarlo, es el de cómo es posible que haya personas que no entiendan las matemáticas. Puesto que solo recurren a las leyes de la lógica, que toda mente normal acepta, y dado que sus pruebas se basan en principios comunes a todos los seres humanos, que nadie en su sano juicio podría negar, ¿cómo es posible que haya tanta gente refractaria a ellas?

Es comprensible que no todo el mundo tenga capacidad inventiva y puede pasar que se olvide una demostración tras haberla aprendido, pero, si pensamos en ello, sí que es muy raro que alguien no comprenda un razonamiento matemático que se le explique. Y, sin embargo, quienes no pueden seguir tal razonamiento más que con dificultad son mayoría, como atestigua la experiencia de los profesores de enseñanza secundaria.

Aún diré más: ¿cómo es posible el error en matemáticas?. Una mente sana no incurre en falacias lógicas ni se trabuca en las sencillas argumentaciones que se dan en la vida ordinaria y, sin embargo, son pocos quienes pueden repetir sin equivocarse las demostraciones matemáticas, sin duda más largas, pero que, en suma, se reducen a una acumulación de pequeños razonamientos en todo parecidos a los que realizamos sin dificultad. No creo necesario añadir que ni siquiera los matemáticos son infalibles…

Por lo que a mí respecta, he de confesar que soy incapaz hasta de hacer una suma sin equivocarme... no tengo mala memoria, pero tampoco lo suficiente buena como para ser un jugador de ajedrez destacado. ¿Porqué entonces no me falla en los momentos difíciles de razonamiento matemático, cuando la mayor parte de los ajedrecistas se perderían?. Sin duda alguna porque la marcha general del razonamiento la guía. Una demostración matemática no es una simple yuxtaposición de silogismos, sino silogismos colocados en determinado orden, siendo este orden de colocación mucho más importante que los elementos mismos. Si tengo la sensación, la intuición, cómo si dijéramos, de ese orden, percibo sin más el razonamiento como un todo y no tengo ya que preocuparme de que se me olvide ninguno de sus elementos, pues cada uno de ellos ocupará su parte en el elenco, sin que mi memoria tenga que hacer esfuerzo alguno.

Sabemos que esta sensación, esta intuición del orden matemático, la que nos hace adivinar armonías y relaciones ocultas, no puede ser poseída por todo el mundo. Hay quienes no tendrán esta delicada sensación, tan difícil de definir, o cuya memoria o capacidad de atención no superarán lo ordinario, lo que les incapacitará por completo para comprender las matemáticas superiores. Tal es el caso de la mayoría. No faltarán otros que, aunque poseyendo la sensación en grado mínimo, estarán dotados de una memoria inusual y de una gran capacidad de atención. Estos se aprenderán de memoria los detalles, uno tras otro; podrán entender las matemáticas, y hasta aplicarlas, pero no podrán crear. Y hay quienes, en fin, poseerán en mayor o menor grado la intuición especial a la que me estoy refiriendo; éstos, no solo entenderán las matemáticas, aunque su memoria no tenga nada de extraordinario, sino que podrán crearlas, esforzándose por inventar, empeño en el que tendrán más o menos éxito según esté de desarrollada su intuición.

¿Qué es realmente la creación matemática?. No consiste en organizar nuevas combinaciones de entidades matemáticas ya conocidas. Esto es algo que cualquiera puede hacer, si bien tales combinaciones son innumerables y la mayor parte de ellas carece por completo de interés. Crear consiste precisamente en no hacer combinaciones inútiles y sí, en cambio, aquellas que son útiles, que son muy pocas. La invención es discernimiento, elección.

Es hora de adentrarse en el alma del matemático y ver qué pasa allí. Creo que lo mejor que puedo hacer en este sentido es recordar mis propias experiencias. Me limitaré a contarles cómo escribí mi primer trabajo sobre las funciones fuchsianas (*). Pido perdón al lector, pues he de usar algunas expresiones técnicas, pero no tiene porqué asustarse, pues no se requiere que las entienda. Si digo, por ejemplo, que encontré la demostración de tal teorema en tales y tales circunstancias, el teorema tendrá indudablemente un nombre bárbaro, desconocido para la mayoría. Pero esto carece de importancia, porque lo verdaderamente importante para el psicólogo no es el teorema, sino las circunstancias.

Durante quince días me esforcé por demostrar que no podían existir funciones como las que luego llamé fuchsianas. Entonces era muy ignorante. Me ponía cada día a trabajar en mi mesa, probaba un gran número de combinaciones durante un par de horas y no lograba nada. Una tarde bebí una taza de café, cosa que no solía hacer, y no pude dormir por la noche. Las ideas surgieron a borbotones. Las sentía chocar unas con otras, por así decirlo, hasta que se engarzaron entre sí formando una combinación estable. A la mañana siguiente ya había determinado la existencia de una clase de funciones fuchsianas, las derivadas de la serie hipergeométrica. Sólo me faltaba poner por escrito los resultados, lo que hice en pocas horas.

Quise entonces representar estas funciones como el cociente de dos series. Tal idea era completamente consciente y deliberada, habiéndome llevado a ella la analogía con las funciones elípticas. Me pregunté que propiedades habrían de tener tales series, si existieran, y conseguí formarlas sin dificultad: a estas les di el nombre de theta-fuchsianas.

Por entonces salí de Caen, donde a la sazón vivía, para participar en una excursión geológica organizada por la escuela de minas. La incidencias del viaje me hicieron olvidar mis trabajos matemáticos. En determinado momento estábamos en Coutances y habíamos de subir a un ómnibus para desplazarnos a otro sitio. Justo al poner el pié en el estribo, sin que ninguno de mis pensamientos precedentes pareciese haberla propiciado, me vino la idea de que las transformaciones que había usado para definir las funciones fuchsianas eran idénticas a las de la geometría no euclídea. No proseguí el razonamiento, ni hubiese tenido ocasión de ello, pues me senté en mi asiento y continué una conversación previa, pero estaba completamente seguro. A mi regreso a Caen lo comprobé concienzudamente por pundonor.

Mi atención se dirigió luego al estudio de algunas cuestiones aritméticas que no parecían tener ninguna relación con mis investigaciones precedentes. No obtuve muchos resultados. Molesto por mi fracaso me marché unos días a la costa para distraerme. Una mañana, mientras caminaba por los acantilados, se me ocurrió la idea de que las transformaciones aritméticas de fórmulas cuadráticas ternarias indeterminadas eran idénticas a las de la geometría no euclídea. El hecho volvió a tener los rasgos de la brevedad, lo inesperado y la sensación de certeza inmediata.

De vuelta a Caen medité sobre este resultado y extraje las consecuencias. El ejemplo de las fórmulas cuadráticas me mostraba que había grupos fuchsianos distintos de los correspondientes a las series hipergeométricas. Me dí cuenta de que podría aplicarles la teoría de las series theta-fuchsianas y de que, en consecuencia, existían funciones fuchsianas distintas de las de series hipergeométricas, que eran las que yo conocía. Como es natural, me puse a formular todas estas funciones. Las sometí a un ataque sistemático y fui doblegándolas, una tras otra. Quedaba una, sin embargo, que se resistía, y cuya dominación hubiera significado la victoria total. Pero el único resultado inicial de mis esfuerzos fue permitirme ver con claridad la dificultad de la empresa, que no era pequeña. Todo este trabajo fue completamente consciente.

Llegó entonces el momento de que me fuese a Mont-Valerien, lugar donde habría de realizar mi servicio militar. Durante un tiempo, pues, mis ocupaciones fueron bastante diferentes. Un buen día, conforme andaba por la calle, se me presentó de improviso la solución del problema que me había bloqueado. No le di más vueltas inmediatamente, pero retomé la cuestión al licenciarme. Disponía de todos los elementos y sólo me faltaba ordenarlos y encajarlos. La redacción de la memoria correspondiente la realicé de un tirón y sin dificultad.

Sería inútil repetir más casos parecidos; baste con este ejemplo.

Lo que resulta más sorprendente en principio es esta aparición de una súbita iluminación, signo inequívoco de una larga elaboración previa inconsciente. Me parece indiscutible el papel que desempeña esta elaboración inconsciente en la invención matemática. Suele pasar que, al trabajar en un tema difícil, los primeros intentos no den ningún resultado. Se toma entonces un descanso, más o menos largo, y se sienta uno de nuevo a trabajar. Como antes, durante la primera media hora sigue sin encontrarse nada y, de pronto, la idea decisiva se presenta por sí sola ante la mente...”

Hay que hacer otra observación sobre las condiciones de esta elaboración inconsciente, a saber, la de que sólo es posible, e indudablemente sólo es fecunda , si va 1) precedida y 2) seguida por un período de trabajo consciente. Estas inspiraciones súbitas nunca se producen (como lo prueban los ejemplos mencionados) más que tras algunos días de esfuerzo voluntario, de apariencia inútil, del que no se ha obtenido nada y cuyo enfoque parece totalmente erróneo. Pero tales esfuerzos no son tan estériles como uno piensa; han puesto en marcha la maquinaria inconsciente, que sin ellos no se movería y no produciría nada…

Esto son los hechos. Veamos ahora las reflexiones a que nos obligan. El inconsciente, o. como preferimos decir, el yo subliminal. desempeña un important papel en la creación matemática según se deduce de lo que hemos dicho. Pero suele considerarse que el yo subliminal es puramente automático. Ahora bien, hemos visto que la tarea matemática no es meramente mecánica, que ninguna máquina, por perfecta que fuera, podría realizarla. No se trata sólo de aplicar reglas, de hacer el mayor número de combinaciones posible según determinadas leyes fijas. Las combinaciones así obtenidas serían extraordinariamente numerosas, inútiles y enrevesadas. La verdadera tarea del inventor consiste en escoger entre estas combinaciones, eliminando las inútiles o, aún mejor, no molestándose en hacerlas. Pero las reglas que guían esta elección son sutiles y delicadas en extremo, siendo casi imposible enunciadas con precisión: se las siente más que se las formula. ¿Cómo imaginar, pues, un cedazo que las aplique de modo mecánico?.

La primera hipótesis que se nos ocurre es que el yo subliminal no sea en modo alguno inferior al yo consciente: que no sea totalmente automático, sino capaz de discernimiento: que tenga tacto, delicadeza: que sepa elegir, que adivine. ¿Qué digo? Sabe adivinar mejor que el yo consciente, puesto que acierta donde el otro falla. En resumen, ¿no es el yo subliminal superior al consciente? Ya se dan cuenta de toda la importancia que tiene este asunto...

He de confesar que, por lo que a mí respecta si los hechos que he relatado nos forzasen a una respuesta afirmativa, me sentiría muy incómodo. Veamos, pues, si su reconsideración no nos permite alguna otra explicación.

Es indudable que las combinaciones que se ofrecen a la mente en esa suerte de iluminación súbita, tras un periodo, a veces prolongado, de elaboración inconsciente, suelen ser útiles y fértiles, pareciendo ser el resultado de una primera impresión. ¿Se deduce de ello que el yo subliminal, tras haber adivinado con fina intuición la utilidad de estas combinaciones, no las haya elaborado más que a ellas?¿O quizás elaboró muchas otras que, por su falta de interés, han permanecido inconscientes?.

Si considerarnos el asunto desde esta nueva perspectiva el automatismo propio del yo subliminal haría que se elabora-en todas las combinaciones, pero sólo las interesantes lograrían penetrar en el dominio de la consciencia. Lo cual sigue siendo bastante misterioso. ¿Cómo se eligen, de entre los miles de productos de nuestra actividad inconsciente, los que pasarán la barrera? ¿Es la mera evidencia la que otorga este privilegio? Es claro que no; de entre todos los estímulos aportados por nuestros sentidos, sólo los más intensos logran nuestra atención, salvo que otras causas la dirijan hacia otros. En general, los fenómenos inconscientes privilegiados, los que pueden convertirse en conscientes, son aquellos que, directa o indirectamente, afectan más profundamente a nuestra sensibilidad emotiva.

Quizá resulte sorprendente que se recurra a la sensibilidad emotiva a la hora de dar cuenta de las demostraciones matemáticas, que, se pensaría sólo afectan al intelecto. Esta opinión olvida la sensación de belleza matemática, de la armonía de los números y las formas, de la elegancia geométrica que es una verdadera sensación estética conocida por todos los matemáticos auténticos, y que, en consecuencia pertenece a la sensibilidad emotiva.

Ahora bien, ¿cuáles son las entidades matemáticas a las que les atribuimos este carácter de belleza y de elegancia, las que pueden producirnos tal emoción estética? Son las que tienen sus elementos armoniosamente dispuestos, de tal forma que la mente puede captar sin esfuerzo su totalidad, al tiempo que percibe sus detalles. Tal armonía no sólo es satisfactoria para nuestras necesidades estéticas, sino que presta ayuda a la mente, a la que sustenta y guía, al tiempo que, al poner ante nosotros un todo bien ordenado, nos permite intuir una ley matemática... Es, pues, esta sensibilidad estética especial la que funciona como el cedazo delicado del que antes hablaba, lo que también esclarece suficientemente por qué quien no la posea no podrá ser un verdadero creador.

A pesar de todo, sigue habiendo dificultades. Tenemos que el yo consciente está gravemente limitado, mientras que no conocemos las limitaciones del yo subliminal. Esto es lo que nos permite suponer sin demasiada dificultad que haya podido elaborar en un corto espacio de tiempo muchas más combinaciones diferentes que las que podría hacer un ser consciente en toda una vida. Y, sin embargo, tales limitaciones existen. No resulta verosímil que pueda elaborar todas las combinaciones posibles, cuyo número supera lo imaginable: pero, por otro lado, tal cosa parece necesaria puesto que, si sólo produjese una pequeña parte de las mismas y lo hiciese al azar, la probabilidad de que estuviese entre ellas la buena combinación, la que deberíamos elegir, sena reducida.

Puede que la explicación a esto hayamos de buscarla en ese periodo de trabajo consciente que siempre precede a toda labor inconsciente fructífera. Permítaseme un símil tosco. Imaginémonos los elementos de nuestras futuras combinaciones como algo parecido a los átomos ganchudos de Epicuro. En los periodos de reposo mental, estos átomos están inmóviles, colgados de la pared, como si dijéramos...

Por el contrario, durante un periodo de descanso aparente y de trabajo inconsciente, algunos de ellos se separan de la pared y se ponen en movimiento. Salen disparados en todas las direcciones del espacio (iba a decir de la habitación) que los contiene, como lo haría, por ejemplo, un enjambre de mosquitos o, si se prefiere una comparación más culta como las moléculas de un gas en la teoría cinética de los gases. En tales circunstancias, sus impactos recíprocos podrían producir nuevas combinaciones.

¿Qué papel desempeña el trabajo inicial consciente? Claramente el de poner en danza algunos de estos átomos, tras haberlos separado de la pared. Nos parece que hemos perdido el tiempo porque los hemos movido de mil modos diferentes, tratando de juntarlos, y no hemos conseguido ningún agregado satisfactorio. Pero, tras esta agitación impuesta por nuestra voluntad, los átomos no se paran, sino que continúan la danza por su cuenta.

Resulta, empero, que nuestra voluntad no los eligió al azar, sino con un claro propósito, por lo que los átomos puestos en danza no son átomos cualesquiera sino aquellos de los que razonablemente puede esperarse la solución buscada. Los impactos entre ellos, o con otros átomos inmóviles, con los que chocan en sus desplazamientos, producen las combinaciones. Vuelvo a pedir disculpas por lo tosco de la comparación, pero no se me ha ocurrido otra forma mejor de expresar lo que pienso.

Sea como fuere, las únicas combinaciones que tienen posibilidades de formarse son aquellas en las que participa como elemento uno al menos de los átomos que nuestra voluntad eligió libremente. Ahora bien, es claro que lo que he llamado la buena combinación se encuentra entre éstas. Quizás así se mitigue el aspecto paradójico de la hipótesis original...

Quiero terminar con otra observación. Entre las anécdotas personales que conté al principio, hablé de una noche de excitación en la que trabajé contra mi deseo. Casos como éste son frecuentes y no es imprescindible que la actividad cerebral anormal venga causada por un excitante físico, como en la circunstancia mencionada. En tales situaciones parece como si uno presenciase su propio trabajo inconsciente, que conserva su naturaleza a pesar de haberse vuelto parcialmente perceptible por la consciencia sobreexcitada Es entonces cuando captamos de modo impreciso lo que diferencia ambos mecanismos o, si se quiere, los métodos de trabajo de ambos egos. Las observaciones psicológicas así realizadas me parecen ratificar en líneas generales, las opiniones aquí expuestas.

Indudablemente es necesario que se las confirme, pues siguen siendo muy hipotéticas. Pero su interés es tanto que no me arrepiento de haberlas compartido con ustedes.

Saludos.


También lo he adjuntado al mensaje en un PDF, tanto la traducción al castellano como la versión en inglés (traducida a su vez del francés) publicada en "The Monist".

[feriva]

 También me ha gustado, gracias por ponerlo.

Saludos.

[sugata]

Gracias El_manco.
Creo que es una descripción preciosa del pensamiento matemático y de como trabaja la mente matemática.
No quisiera parecer creído si digo que me han pasado cosas parecidas a Poincaré.
Trabajar en un problema y tras tomar un descanso o estar a otra cosa, encontrar la solución.
Y no soy matemático, aunque espero serlo algún día de estos........

[Quema]

Hola

De todas formas, a mi me intriga más por qué los grandes avances matemáticos lo dan los jóvenes. Por qué la capacidad de crear se pierde a medida que se envejece. Me dirán, pues hay menos tiempo para estudiar, a medida que envejecemos tenemos otras ocupaciones, etc.

Apuesto que si se pusiera a matemáticos, digamos de 40 a 60 años, a tiempo completo a tratar de lograr avances relevantes en matemática, serían incapaces de hacerlos, o al menos no al nivel que lo harían los jóvenes en iguales circunstancias.

Creo que debe haber una explicación fisiológica, de circulación sanguínea en el cerebro, muerte de neuronas, etc. Es decir, comienzan a fallar los circuitos que conectan ideas.  Como todos sabemos, más o menos a partir de los 40 años comienzan a fallarnos partes del cuerpo: la memoria, la visión, no sigo hacia abajo:).

Saludos

[feriva]

Creo que debe haber una explicación fisiológica, de circulación sanguínea en el cerebro, muerte de neuronas, etc. Es decir, comienzan a fallar los circuitos que conectan ideas.  Como todos sabemos, más o menos a partir de los 40 años comienzan a fallarnos partes del cuerpo: la memoria, la visión, no sigo hacia abajo:).

¡Me voy a pedir el ataúd corriendo, no vaya a ser que se acaben!

Spoiler

No se pierde la capacidad creativa (no soy matemático, pero la creatividad se da en toda actividad) sí se pierde ilusión, ganas, fe...

Yo rozo la "cota" superior que has puesto, pero las personas de 40 no son viejas, hombre

[cerrar]

Saludos.

[Masacroso]

Hola

De todas formas, a mi me intriga más por qué los grandes avances matemáticos lo dan los jóvenes. Por qué la capacidad de crear se pierde a medida que se envejece. Me dirán, pues hay menos tiempo para estudiar, a medida que envejecemos tenemos otras ocupaciones, etc.

Como en todo hay excepciones a esto que expones (el caso de Weierstrass que publicó su teorema de aproximación a los 73 años, o el "descubrimiento" de los números surreales por Conway y Knuth más allá de los 40, la demostración del teorema de Fermat en los 41 de Wiles, etc.) pero en general se cumple en toda la ciencia.

Yo creo que se pierde un tipo especial de "energía vital" basada en la ignorancia del mundo en el cual vivimos. Cuando las personas empiezan a tomar conciencia del mundo en el que viven se pierde una gran parte de las motivaciones esenciales, o dicho de otro modo: uno simplemente se ve arrastrado por las tribulaciones de la vida "mundana". Y si se tienen responsabilidades, como alimentar a una familia, ya los intereses personales o bien dejan de existir o pasan a un cuarto plano.
AÑADO: respecto al texto citado de Poincaré se pueden decir muchas cosas. Dos comentarios que se me ocurren:

1. Lo que yo he observado, de mi periplo por el aprendizaje de las matemáticas, es que las matemáticas son un lenguaje, o al menos lo son para mí, y es ahí en donde estriba la dificultad de su aprendizaje.

Yo no soy matemático sino simplemente aficionado, si bien antes que aficionado a las matemáticas soy aficionado a la filosofía, y además tengo formación científica. Con esto quiero volver a lo que decía sobre que las matemáticas son un lenguaje: cuando me aficioné, no hace demasiados años (menos de diez) a leer filosofía lo primero que noté es que era una forma de usar la mente y el lenguaje radicalmente diferente de lo que yo conocía. Sí, lo que leía estaba en castellano, pero al comenzar a meterme en el tema realmente hacía un esfuerzo en leer y entender, y de hecho me producía dolor de cabeza al principio.

En mi ingenuidad había creído que, habiendo estudiado una carrera de ciencias, la filosofía no podría ser demasiado difícil de asimilar, acostumbrado al pensamiento racional, pero resultó ser algo enteramente distinto al discurrir racional al que ya estaba habituado, y el significado de los conceptos era algo totalmente distinto de lo que yo entendía en la ciencia por significado y muchísimo más complejo. Ahí noté, en esa experiencia, lo que era un lenguaje (a veces técnico, a veces metafórico).

Hasta no hace mucho, unos 4 años atrás, no empecé a interesarme por las matemáticas. Siempre había sido muy bueno en matemáticas en bachiller y en la universidad así que siempre me había quedado la espina clavada de estudiar más de aquello que se me daba (presumiblemente) bien. Pero claro... ahí descubrí que el análisis matemático es algo bastante diferente de las matemáticas que yo conocía, y que en verdad las matemáticas, en su generalidad y abstracción, son más bien un lenguaje que simplemente unas fórmulas con las cuales calcular cosas.

Entonces, volviendo a lo que decía Poincaré sobre el por qué a muchas personas parece no dárseles bien las matemáticas, yo veo que esto es debido a que es un lenguaje diferente de las lenguas de uso general, no totalmente distinto, pero sí con finalidades y reglas distintas. Dicho de otro modo: las funciones de las lenguas son muy diferentes de las matemáticas, en principio en la ciencia el lenguaje cumple una función formal o descriptiva, donde el significado de los conceptos esencialmente "no existe", son pura forma (puro significante).

(Aquí habría que aclarar lo que se toma por significado y significante, claro está. El "no existe" quiere decir que los significados de conceptos científicos, que son formales, tienen un contenido muy diferente del significado de los conceptos en el uso normal del habla cotidiana.)

Por lo cual no me parece nada raro que a la gente, en su mayoría, se le "den mal" las matemáticas.

2. El otro punto que quería comentar es que, como Poincaré describe y se corrobora en mi experiencia, hay una mente detrás de la mente despierta. Es decir: cuando hay una pregunta abierta, un interés por resolver algo, la mente sigue trabajando en ello de algún modo aunque nosotros no lo hagamos conscientemente. Y puede dar una respuesta a una pregunta formulada hace muchos años, incluso décadas, en cualquier momento (de ahí la experiencia que Poincaré relata del ómnibus).

Ahora yo aporto aquí una "teoría" que nace de varias experiencias, pero especialmente una relacionada en mi adolescencia cuando estudiaba piano: es conocido por cualquier pianista (al menos cualquier pianista que sea estudiante) que debe haber un equilibrio en la intensidad de estudio de una pieza musical: no se puede estudiar una pieza demasiado porque, los errores cometidos al tocarla, no se corrigen, al contrario, se refuerzan... por lo cual debe haber descansos, incluso de días, para que las manos "olviden" un poco cómo se tocaba la pieza y poder "aprenderla de nuevo" lo que permite corregir los errores (esos errores se conocen como vicio o enviciamiento). Sin embargo tampoco se puede estar demasiado tiempo sin tocar una pieza porque se pierde agilidad en la misma. Así que hay un equilibrio de tiempos en los que se aprende una pieza.

Probablemente lo mismo sea aplicable a cualquier estudio o desarrollo. En el ejercicio físico pasa lo mismo: debe haber un equilibrio entre ejercicio y descanso para que el desarrollo sea ideal: mucho ejercicio no es demasiado útil. Algo así debe pasar también en matemáticas: se debe estar enfocado pero hay que descansar cuando es preciso para que el propio inconsciente se reestructure o trabaje eficientemente.