Autor Tema: Física para matemáticos. Sistemas de vectores "deslizantes".

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09 Septiembre, 2012, 06:34 pm
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Hasclepio

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Hola a todos/as

Llevo días intentando entender esto desde el punto de vista matemático y no hay forma, no he encontrado ni una referencia mínimamente aceptable que trate este tema con rigor (me molesta usar la palabra rigor porque realmente no lo sería, simplemente que estuviese bien, pero en fin... eufemismos).

En los libros de álgebra lineal, en espacio afín se introduce el concepto de vector "libre" (como clases de equivalencia), segmento o flecha (como el producto cartesiano de dos conjuntos cuyos cuyos elementos son puntos) y ya está.

Pero en física arman un auténtico jaleo impresionante que yo no sé de dónde salen las cosas ???  ya que usan los dos a la vez pero entienden un vector libre geométricamente como una flecha cuando en realidad es un conjunto y él es simplemente el "representante" de la clase de equivalencia (equipotencia)...

En fin ¿existe algún libro o referencia que trate estos de forma congruente con las matemáticas? Es que estoy estudiándome este de una asignatura de física y es verdaderamente "horrible" lidiar con muchas manipulaciones absolutamente heurísticas que me imposibilitan aprender bien.

Algunos libros de física de más nivel, tipo el Goldstein, tratan algunos temas con más rigor (como por ejemplo los cambios de referencia y tal) pero otros es que es imposible. Me refiero a los temas de Sistemas de Vectores Deslizantes, eje central, centro de reducción... teoría de momentos y similar, alguna referencia, apuntes o algo que esté explicado desde el punto del álgebra (ya que son vectores).

Muchas gracias

09 Septiembre, 2012, 07:18 pm
Respuesta #1

Capitan Trueno

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Te vale esto?

http://www.uhu.es/filico/teaching/apuntes_iq/tema1_iq.pdf

Realmente en matemática no existe la consideración de vectores libres, deslizantes o fijos, eso es algo que se define dentro de la física, por razón de los tipos de fuerzas y campos que se encuentran en la naturaleza. Todos ellos son vectores, al más puro estilo matemático, pero no todos ellos actúan de la misma forma, te pondré algunos ejemplos, a ver si puedo aclararte la confusión.

Imagina las fuerzas elementales debidas a la presión que actúan sobre cada elemento de la superficie de un cuerpo que se encuentra sumergido en un fluido. Sería un ejemplo de vectores fijos, porque cada una de ellas actúa sobre un punto y solo uno del sólido. La resultante de todas ellas es el empuje arquimediano, más que conocido. En general los campos de fuerza son sistemas de vectores fijos ya que actúan solo en un punto del espacio.

Un ejemplo de vectores deslizantes podría ponerse si consideramos un sistema de fuerzas de resultante nula, pero de momento no nulo, ya que el momento resultante no varía mientras se mantengan dichos vectores actuando sobre una determinada linea de acción que es la que es la que lo define. Por ejemplo la tensión de una cuerda es un vector deslizante.

¿Sabrías ponerme un ejemplo de vectores libres?

Salu2

09 Septiembre, 2012, 07:32 pm
Respuesta #2

Dani

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Leí por ahí que el Foundation of Mechanics, de Abraham y Marsden, es un libro de Mecánica orientado para matemáticos.

Aquí tienes una muestra de Google Books:

http://books.google.es/books?id=4Y-ownk6ilsC&printsec=frontcover&source=gbs_ge_summary_r&cad=0

A ver si te gusta  :)


09 Septiembre, 2012, 08:57 pm
Respuesta #3

Hasclepio

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Realmente en matemática no existe la consideración de vectores libres, deslizantes o fijos, eso es algo que se define dentro de la física, por razón de los tipos de fuerzas y campos que se encuentran en la naturaleza. Todos ellos son vectores, al más puro estilo matemático, pero no todos ellos actúan de la misma forma, te pondré algunos ejemplos, a ver si puedo aclararte la confusión.

Quizá no me he explicado correctamente. A lo que me refiero es que como matemática aplicada que es, se expliquen las definiciones, teoremas y demás dentro del marco del álgebra para poder entender desde el principio qué se está haciendo. La física utiliza el espacio afín constantemente y teoremas y resultados de la matemática.

Los vectores libres -como tal- sí se pueden definir perfectamente en matemáticas usando el conjunto cociente y clases de equivalencia, de hecho en algún libro de álgebra lo define así. Bien, esto sería un ejemplo de lo que busco... y no que me empiecen a poner fórmulas y a explicar de forma poco menos que de bareto y tortilla cómo se opera con ellos (con dibujos, flechas...), no, yo quiero que se me explique con matemáticas que para eso las estudio  :D.


Cita de: Capitan Trueno
Imagina las fuerzas elementales debidas a la presión que actúan sobre cada elemento de la superficie de un cuerpo que se encuentra sumergido en un fluido. Sería un ejemplo de vectores fijos, porque cada una de ellas actúa sobre un punto y solo uno del sólido. La resultante de todas ellas es el empuje arquimediano, más que conocido. En general los campos de fuerza son sistemas de vectores fijos ya que actúan solo en un punto del espacio.

Bueno pero yo quiero que se me definan estas cosas. Por ejemplo desde el punto de vista de la Geometría Diferencial eso se podría definir con un elemento del espacio tangente al espacio, que es un espacio vectorial; si tenemos un punto u origen P y un extremo v sería \( \mathbf{v}_p\in\mathbb{T}_p(\mathbb{E}^3) \) siendo \( \mathbb{E}^3 \) el conjunto de puntos.

¿Dónde viene esto explicado y tratado de forma legible?

Cita de: Capitan Trueno
Un ejemplo de vectores deslizantes podría ponerse si consideramos un sistema de fuerzas de resultante nula, pero de momento no nulo, ya que el momento resultante no varía mientras se mantengan dichos vectores actuando sobre una determinada linea de acción que es la que es la que lo define. Por ejemplo la tensión de una cuerda es un vector deslizante.

¿Sabrías ponerme un ejemplo de vectores libres?

Salu2


Pero si es que no se trata de eso. El concepto lo puedo intentar igual que los demás y tal como lo explican los libros de física: con dibujos (centro de reducción), operaciones heurísticas... y demás. Lo que yo quiero es una referencia en la que se trate esto adecuadamente y en el marco de lo que es: matemáticas.

Muchas gracias por tu ayuda :).

Cita de: Dani
Leí por ahí que el Foundation of Mechanics, de Abraham y Marsden, es un libro de Mecánica orientado para matemáticos.

Aquí tienes una muestra de Google Books:

http://books.google.es/books?id=4Y-ownk6ilsC&printsec=frontcover&source=gbs_ge_summary_r&cad=0
A ver si te gusta  :sonrisa:

Muchas gracias, voy a mirarlo a ver  ;D, ya comentaré.

10 Septiembre, 2012, 08:34 am
Respuesta #4

Raúl Aparicio Bustillo

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Quizá no me he explicado correctamente. A lo que me refiero es que como matemática aplicada que es, se expliquen las definiciones, teoremas y demás dentro del marco del álgebra para poder entender desde el principio qué se está haciendo. La física utiliza el espacio afín constantemente y teoremas y resultados de la matemática.

Los vectores libres -como tal- sí se pueden definir perfectamente en matemáticas usando el conjunto cociente y clases de equivalencia, de hecho en algún libro de álgebra lo define así. Bien, esto sería un ejemplo de lo que busco... y no que me empiecen a poner fórmulas y a explicar de forma poco menos que de bareto y tortilla cómo se opera con ellos (con dibujos, flechas...), no, yo quiero que se me explique con matemáticas que para eso las estudio  :D.

Casi siempre en física se trata con vectores libres. La definición más práctica de vector es a mi modo de ver la de Einstein ( de hecho el los definió para su espacio de Riemann cuatridimensional de la relatividad general con métrica \(  (1,-1,-1,-1) \), pero bueno, vale para cualquier espacio de Riemann. El no definió directamente qué era un vector, de la misma forma que no se define lo que es una coordenada, un espacio de Riemann se caracteriza por las distancias entre sus elementos llamados puntos, aunque nosotros introducimos para representar a un punto  unas coordenadas y una métrica y a partir de ellos calculamos una distancia.

De la misma forma, un vector se caracteriza por n valores ( según la dimensión del espacio). Lo que dice Einstein es que si yo hago un cambio de coordenadas, las componentes de un vector se transforman según las diferenciales de esas coordenadas. Si trabajas en un espacio de métrica constante ( cualquier espacio euclideo o pseudo-euclideo, por ejemplo) , pues las diferenciales se pueden cambiar por incrementos)

He intentado ver si estaba el libro en Internet, y no lo he encontrado, el de teoría clásica de campos de Landau en Scribd
http://es.scribd.com/doc/3209787/Landau-L-D-Lifschitz-E-M-Vol-2-The-Classical-Theory-of-Fields te vale perfectamente. No esperes un tratamiento matemático riguroso ( por ejemplo, te hablarán de las diferenciales como "incrementos infinitesimales"), tampoco lo tienes en el de Einstein original, aunque en otros libros los haya, pero desde luego, la formulación original de la relatividad no está escrita en esos términos, pero cualquier estudiante medio de matemáticas es capaz de formalizarlo sin problemas a partir de él.

Hay libros que formalizan las explicaciones en términos rigurosos, pero ahora mismo no sabría darte referencias.

10 Septiembre, 2012, 04:20 pm
Respuesta #5

Capitan Trueno

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Disculpa Sailor, pero la cita que muestras en tu último mensaje no es mía, aunque aparezca mi nombre en la parte superior. El texto que se muestra en esa cita fue publicado por Hasclepio.

Salu2

10 Septiembre, 2012, 05:52 pm
Respuesta #6

feriva

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Hola otra vez, Hasclepio. He encontrado el correo del profesor que te digo, ahora te lo envío por privado; pero no me contestes para darme las gracias, que lo tengo muy lleno y lo más normal es que no me llegue la respuesta.
 Seguro que estará encantado de darte la referencia del libro.

 (*si hubiera muerto y te enteras, no me digas nada, le tenía mucho aprecio).

Saludos.